Questão 173 do ENEM 2010

2º dia · Matemática

João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

Grafo com vértices A, B, C, D, E e F conectados por arestas indicando os custos de deslocamento entre cada par de cidades.

Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.

O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de

  1. A
    60 min.
  2. B
    90 min.
  3. C
    120 min.
  4. D
    180 min.
  5. E
    360 min.
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Resolução comentada

João sai de A, visita as outras 5 cidades em alguma ordem e volta para A. Como a cidade de partida está fixa, o que varia é a ordem das 5 cidades restantes (B, C, D, E, F).

  1. Número de sequências possíveis: permutações de 5 cidades, 5! = 120.

  2. Cada trajeto tem uma sequência simétrica (a mesma ordem invertida, como ABCDEFA e AFEDCBA) com o mesmo custo. Então as 120 sequências formam pares de trajetos equivalentes.

  3. Número de pares: \frac{120}{2} = 60.

  4. Em cada exame, João analisa uma sequência e descarta a simétrica, gastando 1min30s. Logo, são 60 exames.

  5. Tempo total: 60 \times 1{,}5\ \text{min} = 90\ \text{min}.

Os custos da figura não precisam ser usados: a pergunta é só sobre o tempo para verificar todas as sequências.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem chega a 60 pares e esquece que cada exame leva 1min30s, não 1 min; a D engana quem esquece de dividir por 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa 60 exames, mas esquece de multiplicar por 1min30s (trata cada exame como 1 min).
  • CUsa as 120 sequências, sem agrupar em pares simétricos, e 1 min cada.
  • DUsa as 120 sequências, sem agrupar em pares, com 1min30s cada.
  • EUsa 720 sequências (6!), contando também a cidade A como variável, e depois divide por 2 com 1 min cada.

Assuntos: análise combinatória, permutação.

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