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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 138 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H24 · Matemática: Função exponencial

Texto para as questões 138 e 139 · Azul

A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

Gráfico de linhas sobre a população com 60 anos ou mais. O eixo horizontal marca os anos 1950, 70, 90, 2010, 30 e 50; a escala percentual à direita varia de 0 a 35. A curva contínua superior representa os países desenvolvidos, com valores destacados de 95, 269 e 461 milhões de pessoas. A curva pontilhada inferior representa os países em desenvolvimento, com valores destacados de 110, 490 e 1.592 milhões. O intervalo de 2010 a 2050 é sombreado com a legenda ESTIMATIVAS. Abaixo do gráfico consta: Fonte: “Perspectivas da População Mundial”, ONU, 2009.

Disponível em: www.economist.com.
Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).

Suponha que o modelo exponencial y = 363\text{e}^{0,03x}, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando \text{e}^{0,3} = 1{,}35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre

  1. A
    490 e 510 milhões.
  2. B
    550 e 620 milhões.
  3. C
    780 e 800 milhões.
  4. D
    810 e 860 milhões.
  5. E
    870 e 910 milhões.
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Resolução comentada

O modelo dá a população y em função de x, o número de anos contados a partir de 2000. Basta descobrir o x de 2030 e substituir.

  1. Ano 2030: x = 2030 - 2000 = 30.

  2. Substituindo no modelo:

y = 363\,\text{e}^{0{,}03\cdot 30} = 363\,\text{e}^{0{,}9}
  1. O enunciado só fornece \text{e}^{0{,}3} = 1{,}35. Como 0{,}9 = 3\cdot 0{,}3, usamos a propriedade da potência:
\text{e}^{0{,}9} = \left(\text{e}^{0{,}3}\right)^3 = 1{,}35^3

  1. Calculando: 1{,}35^2 = 1{,}8225 e 1{,}8225 \cdot 1{,}35 \approx 2{,}46.

  2. Então:

y \approx 363 \cdot 2{,}46 \approx 893 \text{ milhões}

Conferindo: 363\cdot 2{,}46 = 726 + 166{,}98 \approx 893. Esse valor está entre 870 e 910 milhões.

É coerente com o gráfico: em 2010 o valor é 490 e em 2050 chega a 1.592, então em 2030 um valor perto de 890 faz sentido.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor próximo ao de 2010 (490 milhões), ignorando o crescimento exponencial até 2030.
  • BResulta de usar apenas \text{e}^{0{,}3} (363·1,35 ≈ 490) ou um expoente menor, sem chegar a x=30 completo.
  • CValor subestimado, resultante de erro no cálculo da potência 1{,}35^3.
  • DTambém subestima a potência 1{,}35^3, que vale cerca de 2,46, não 2,3.

Assunto: Função exponencial.

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