PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 do ENEM 2008

Prova · Matemática: Sequências e padrões

Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.

O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:

  1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
  2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;
  3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
  4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

Sequência de três triângulos equiláteros, identificados como Figura 1, Figura 2 e Figura 3, seguida de reticências. A Figura 1 é um triângulo inteiramente preto. A Figura 2 é formada por três triângulos pretos com metade do lado do primeiro, dispostos nos vértices e deixando um triângulo branco invertido no centro. Na Figura 3, cada um dos três triângulos pretos é substituído por três triângulos pretos menores, deixando mais três vazios triangulares invertidos.

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da seqüência apresentada acima é

  1. A
    Triângulo de Sierpinski com um grande vazio triangular branco invertido no centro e três conjuntos triangulares nos vértices. Cada conjunto apresenta um vazio central e subdivisões sucessivas, formando 81 pequenos triângulos pretos.
  2. B
    Composição triangular de pequenos triângulos pretos e vazios brancos. Há vazios triangulares invertidos nas regiões superior, inferior esquerda e inferior direita, e um vazio triangular com vértice para cima na região central.
  3. C
    Triângulo de Sierpinski formado por 27 pequenos triângulos pretos. Apresenta um grande vazio triangular invertido central, três vazios de metade desse lado e nove vazios menores, também invertidos.
  4. D
    Triângulo equilátero de contorno fino, com triângulos pretos invertidos em seu interior: um grande no centro, três intermediários e nove menores. As regiões restantes são brancas.
  5. E
    Parte superior de um triângulo equilátero de contorno fino, com um triângulo preto invertido próximo ao topo e parte de outro triângulo preto invertido maior abaixo. A parte inferior da figura está cortada.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Cada etapa troca cada triângulo preto por 3 triângulos pretos com metade do lado. Então o número de triângulos pretos triplica a cada figura.

  1. Figura 1: 1 triângulo preto.
  2. Figura 2: 3 triângulos pretos.
  3. Figura 3: 9 triângulos pretos.
  4. Figura 4: 27 triângulos pretos.

A figura 4 deve ter, portanto, 27 triângulos pretos pequenos. Os vazios (brancos) aparecem sempre invertidos e se organizam por tamanho: 1 vazio grande no centro (surgido na figura 2), 3 vazios de lado metade do grande (figura 3) e 9 vazios menores ainda (figura 4). Total de vazios: 1+3+9=13.

Conferindo as alternativas:

  • (A) tem 81 triângulos pretos, que seria a figura 5.
  • (B) tem vazio com vértice para cima, o que não ocorre no procedimento.
  • (C) tem 27 triângulos pretos, um vazio grande, três médios e nove pequenos, todos invertidos. Confere.
  • (D) e (E) mostram triângulos pretos invertidos sobre fundo branco, ou seja, a figura em negativo, e (E) ainda está cortada.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMostra 81 triângulos pretos, que corresponde à figura 5, não à figura 4.
  • BTem vazio com vértice para cima e distribuição irregular, o que não segue o procedimento.
  • DOs triângulos invertidos são pretos sobre fundo branco, o negativo da figura correta.
  • EMostra só parte de uma figura em negativo, cortada, sem a estrutura completa.

Assunto: Sequências e padrões.

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