Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 61 do ENEM 2005

Prova · Matemática: Cone e tronco de cone

Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras.

Três recipientes de formas diferentes preenchidos com líquido cinza até a metade de sua altura. O primeiro (rotulado V1) tem a forma de um cone invertido; o segundo (rotulado V2) tem a metade superior cilíndrica e a metade inferior semiesférica; o terceiro (rotulado V3) tem a forma de uma ampulheta composta por dois cones unidos pelos vértices.

Representando por V_1, V_2 e V_3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se

  1. A
    V_1 = V_2 = V_3
  2. B
    V_1 < V_3 < V_2
  3. C
    V_1 = V_3 < V_2
  4. D
    V_3 < V_1 < V_2
  5. E
    V_1 < V_2 = V_3
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Seja R o raio da boca e h a altura de cada recipiente. Os recipientes têm a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. No segundo, a parte inferior é uma semiesfera, então h = R.

Recipiente 1 (cone invertido). O líquido chega à metade da altura, então forma um cone semelhante ao cone todo, com razão de semelhança \frac{1}{2}. O raio da superfície é \frac{R}{2} e a altura é \frac{h}{2}:

V_1 = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2\frac{h}{2} = \frac{\pi R^2 h}{24}

Recipiente 2 (semiesfera embaixo). O líquido enche a semiesfera inteira, de raio R:

V_2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2\pi R^3}{3}

Como h = R, V_2 = \frac{2\pi R^2 h}{3} = \frac{16\pi R^2 h}{24}.

Recipiente 3 (ampulheta). O líquido ocupa o cone inferior, com base de raio R e altura \frac{h}{2}:

V_3 = \frac{1}{3}\pi R^2\frac{h}{2} = \frac{\pi R^2 h}{6} = \frac{4\pi R^2 h}{24}

Comparação, em unidades de \frac{\pi R^2 h}{24}:

V_1 = 1, V_3 = 4, V_2 = 16.

Logo V_1 < V_3 < V_2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe volumes iguais só porque altura e boca coincidem, ignorando as formas.
  • CIguala V_1 e V_3, mas o cone de V_3 tem base R (não R/2), logo é 4 vezes maior.
  • DInverte V_1 e V_3; o líquido do cone 1 tem raio R/2, bem menor que o do cone 3.
  • EIguala V_2 e V_3, mas a semiesfera tem volume bem maior que o cone de altura h/2.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Esfera.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 61 no caderno Amarela do ENEM 2005