PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do ENEM 2003

Prova · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10{,}5\text{ cm} \times 15{,}5\text{ cm}. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível.

Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):

Esquema sequencial com setas mostrando a confecção de um cordel: uma folha de papel aberta recebe uma dobra horizontal ao meio, resultando em um retângulo dobrado que em seguida recebe uma dobra vertical ao meio, originando um livreto de 4 folhas (8 páginas) com dimensões indicadas de 15,5 cm de altura por 10,5 cm de largura.

Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10{,}5\text{ cm} \times 15{,}5\text{ cm}, com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de

  1. A
    84\text{ cm} \times 62\text{ cm}
  2. B
    84\text{ cm} \times 124\text{ cm}
  3. C
    42\text{ cm} \times 31\text{ cm}
  4. D
    42\text{ cm} \times 62\text{ cm}
  5. E
    21\text{ cm} \times 31\text{ cm}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Cada dobra ao meio dobra o número de camadas de papel. Na figura, duas dobras (uma horizontal e uma vertical) geram 4 folhas, ou seja, 8 páginas (frente e verso de cada folha). A folha original tem, portanto, 4 vezes a área do livreto final, e o livreto mede 10{,}5\text{ cm} \times 15{,}5\text{ cm}.

Para 32 páginas, precisamos de 16 folhas, ou seja, 4 vezes mais que as 4 folhas do exemplo. Isso exige mais duas dobras, e o total passa a ser 4 dobras ao meio, que dão 2^4 = 16 camadas.

As dobras se alternam, uma em cada direção. Então cada dimensão é dobrada ao meio duas vezes, e a folha original tem cada lado multiplicado por 2^2 = 4 em relação ao livreto.

As dimensões do papel são:

  1. Largura: 4 \times 10{,}5 = 42\text{ cm}
  2. Altura: 4 \times 15{,}5 = 62\text{ cm}

Conferindo a área: 42 \times 62 equivale a 16 vezes 10{,}5 \times 15{,}5, como esperado.

A folha de 42\text{ cm} \times 62\text{ cm} é a que dá 32 páginas sem desperdício.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADobra o dobro de cada lado (84 = 8·10,5), o que daria 64 folhas, ou seja, 128 páginas.
  • BUsa 84 × 124, com lados 8 vezes maiores que o livreto, o que dá 64 vezes a área, muito acima do necessário.
  • CDimensões 42 × 31: a altura de 31 cm corresponde a só 2 vezes 15,5, então a área é insuficiente (8 folhas, 16 páginas).
  • EDimensões 21 × 31 correspondem a apenas uma dobra em cada direção, o que dá 4 folhas, 8 páginas, o caso do exemplo.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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