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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 do ENEM 2002

Prova · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área.

Terreno em forma de paralelogramo, delimitado pelas ruas A, acima, B, abaixo, C, à esquerda, e D, à direita. A figura informa: “As ruas A e B são paralelas.” e “As ruas C e D são paralelas.”

Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.

Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:

  1. A
    Paralelogramo dividido em quatro faixas por três segmentos paralelos aos lados inclinados. Os quatro segmentos da base superior e os quatro segmentos da base inferior estão assinalados com um traço cada, indicando medidas iguais.
  2. B
    Paralelogramo dividido em quatro triângulos pelas duas diagonais, que se cruzam em um ponto interior.
  3. C
    Paralelogramo dividido em quatro triângulos por uma diagonal do vértice inferior esquerdo ao superior direito, um segmento do vértice inferior esquerdo ao ponto médio do lado superior e um segmento do ponto médio do lado inferior ao vértice superior direito. As duas metades do lado superior e as duas metades do lado inferior estão assinaladas com um traço cada, indicando medidas iguais.
  4. D
    Paralelogramo dividido em quatro paralelogramos por um segmento horizontal e um segmento paralelo aos lados inclinados. As duas metades do lado superior e as duas metades do lado inferior têm um traço cada. As duas metades de cada lado inclinado têm dois traços cada.
  5. E
    Paralelogramo com dois segmentos interiores paralelos aos lados inclinados, formando uma faixa à esquerda, uma faixa central e uma faixa à direita. Um segmento horizontal divide apenas a faixa central em duas partes. Os segmentos superior e inferior das faixas laterais estão assinalados com um traço cada. As duas metades de cada segmento interior inclinado estão assinaladas com dois traços cada.
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Resolução comentada

A área de um paralelogramo é base × altura, e a área de um triângulo é base × altura / 2. Dois triângulos com bases iguais e a mesma altura têm áreas iguais. Vamos testar cada esquema.

(A) Quatro paralelogramos com bases iguais (marcas iguais) e mesma altura: áreas iguais.

(B) As diagonais de um paralelogramo se cortam no ponto médio. Os quatro triângulos têm bases iguais duas a duas (metades dos lados) e alturas iguais, então todos têm área \frac{1}{4} do total.

(C) Os pontos médios dividem a base superior e a inferior em duas metades iguais. Os triângulos com base na parte superior ou inferior têm vértice oposto no mesmo canto e a mesma altura do paralelogramo, então cada um tem área \frac{b}{2}\cdot h\cdot\frac{1}{2}=\frac{bh}{4}. Os dois triângulos do meio dividem o que sobra, \frac{bh}{2}, e são congruentes por simetria do paralelogramo em relação ao centro. Logo, todos valem \frac{bh}{4}.

(D) Os cortes passam pelos pontos médios de lados opostos: quatro paralelogramos congruentes, cada um com \frac{1}{4} da área.

(E) A faixa central tem base b' e as laterais têm bases iguais entre si, mas as marcas não indicam que as bases das faixas laterais sejam iguais à da central. Com as faixas laterais de base x cada e a central de base b-2x, a central é cortada ao meio, com áreas \frac{(b-2x)h}{2} cada, enquanto as laterais valem xh. Só seriam iguais se x=\frac{b}{4}, o que a figura não garante. Portanto, os lotes não têm necessariamente a mesma área.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AOs quatro paralelogramos têm bases iguais e mesma altura, logo áreas iguais.
  • BAs diagonais se cortam no ponto médio, então os quatro triângulos têm a mesma área.
  • COs quatro triângulos têm área igual a 1/4 da área total, pelos pontos médios e pela simetria.
  • DOs cortes pelos pontos médios geram quatro paralelogramos congruentes.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 22 no caderno Amarela do ENEM 2002