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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do ENEM 2001

Prova · Matemática: Cilindro

Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:

I - Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.

Ilustração de uma tora de madeira deitada, com comprimento indicado pela letra h e um barbante dando uma volta completa ao redor de sua seção circular.

II - O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.

Barbante dobrado ao meio uma vez, identificado como 1ª dobra. Barbante dobrado novamente ao meio em quatro partes, identificado como 2ª dobra.

III - O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira.

Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.
A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para comercialização.
Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de

  1. A
    30%.
  2. B
    22%.
  3. C
    15%.
  4. D
    12%.
  5. E
    5%.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Chame de r o raio do tronco e de h o seu comprimento.

  1. O barbante dá a volta no tronco, então seu comprimento é o da circunferência: C = 2\pi r.

  2. Dobrado duas vezes, o barbante fica com \dfrac{C}{4} = \dfrac{2\pi r}{4} = \dfrac{\pi r}{2}.

  3. Volume pela prática local: multiplica-se essa medida por ela mesma e depois pelo comprimento:

    V_{est} = \left(\dfrac{\pi r}{2}\right)^2 h = \dfrac{\pi^2 r^2 h}{4}

  4. Volume do cilindro: V_{cil} = \pi r^2 h.

  5. Razão entre os dois:

    \dfrac{V_{est}}{V_{cil}} = \dfrac{\pi^2 r^2 h/4}{\pi r^2 h} = \dfrac{\pi}{4} \approx \dfrac{3{,}14}{4} \approx 0{,}785

  6. A estimativa local dá cerca de 78{,}5\% do volume formal. A diferença é 100\% - 78{,}5\% \approx 21{,}5\%, ou seja, da ordem de 22\%.

Essa diferença corresponde às perdas de madeira no corte.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com 1-\pi/4; não decorre de nenhum cálculo correto.
  • CValor aleatório; 1-\pi/4 dá cerca de 21,5%, não 15%.
  • DValor sem base no cálculo; a diferença correta é cerca de 22%.
  • EValor muito pequeno, sem relação com 1-\pi/4.

Assuntos: Cilindro, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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