Questão 175 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática

Um rolo de papel higiênico tradicional é representado por um cilindro circular reto retirando-se outro cilindro circular reto interior, de mesmo eixo de simetria, mesma altura e diâmetro menor, conforme a figura.

Esquema de um cilindro oco vazado por outro cilindro coaxial, com indicações de altura, diâmetro interno e diâmetro externo

Considere um rolo de papel higiênico com 12 cm de diâmetro externo, 4 cm de diâmetro interno e 10 cm de altura.

O volume, em centímetro cúbico, desse rolo é

  1. A
    80\pi.
  2. B
    160\pi.
  3. C
    320\pi.
  4. D
    640\pi.
  5. E
    1\ 280\pi.
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Resolução comentada

O rolo é um cilindro grande (externo) do qual se retira um cilindro menor (o furo central). Os dois têm a mesma altura e o mesmo eixo. Então o volume do rolo é a diferença entre os volumes dos dois cilindros.

O volume de um cilindro é V = \pi r^2 h, e o raio é metade do diâmetro.

  1. Raio externo: R = 12/2 = 6\ \text{cm}.
  2. Raio interno: r = 4/2 = 2\ \text{cm}.
  3. Volume do cilindro externo: V_e = \pi \cdot 6^2 \cdot 10 = 360\pi\ \text{cm}^3.
  4. Volume do cilindro interno: V_i = \pi \cdot 2^2 \cdot 10 = 40\pi\ \text{cm}^3.
  5. Volume do rolo: V = 360\pi - 40\pi = 320\pi\ \text{cm}^3.

Outra forma de conferir: a área da base é a de uma coroa circular, \pi(6^2 - 2^2) = 32\pi, e multiplicando pela altura: 32\pi \cdot 10 = 320\pi.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas B e E enganam quem subtrai os raios antes de elevar ao quadrado (B) ou usa o diâmetro como se fosse o raio (E).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só a diferença dos raios ao quadrado com erro de conta, sem chegar à coroa correta; o valor 80\pi não corresponde ao volume do rolo.
  • BCalcula \pi(6-2)^2\cdot 10 = 160\pi, subtraindo os raios antes de elevar ao quadrado.
  • DUsa os diâmetros no lugar dos raios no cilindro interno ou dobra o resultado correto, chegando a 640\pi.
  • EUsa os diâmetros como raios: \pi(12^2-4^2)\cdot 10 = 1\,280\pi.

Assuntos: volume de cilindro, coroa circular.

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