Questão 165 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática

Uma costureira tem à sua disposição pelo menos duas unidades de cada um dos quatro tipos de retalhos retangulares com as estampas e os tamanhos apresentados.

Retalho de 10 cm × 10 cm com um quadrado preto no canto superior esquerdo e um coração cinza; retalho de 10 cm × 10 cm com uma faixa preta na parte superior, um losango cinza e uma elipse cinza; retalho de 10 cm × 20 cm inteiramente preto.

Retalho de 10 cm × 10 cm com uma faixa preta na parte superior, um losango cinza e uma elipse cinza; abaixo, retalho de 10 cm × 20 cm inteiramente preto.

Retalho de 10 cm × 10 cm com estampa de figuras geométricas sobrepostas, incluindo elipses cinzas, polígonos cinzas e linhas pretas.

Para confeccionar um tapete em formato retangular de 10\ \text{cm} \times 50\ \text{cm}, ela utilizará os retalhos, na posição indicada na figura, costurando um lado de um a um lado do outro, sem que haja rotações desses retalhos. O modelo de tapete que pretende confeccionar deverá conter um único retalho de 10\ \text{cm} \times 20\ \text{cm} e mais três retalhos de formato 10\ \text{cm} \times 10\ \text{cm}, sendo que retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado a lado.

Quantos modelos diferentes de tapetes poderão ser confeccionados?

  1. A
    12
  2. B
    24
  3. C
    34
  4. D
    48
  5. E
    60
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Há quatro tipos de retalho: três de 10\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} (estampas A, B e C) e um de 10\ \text{cm} \times 20\ \text{cm} (o preto, que chamaremos de P). O tapete tem 10 \times 50, então as peças ficam em fila, sem rotação: o P ocupa 2 posições e os três quadrados ocupam 3 posições.

  1. Posição do P: ele ocupa 2 casas seguidas numa fila de 5 casas. Há 4 posições possíveis: casas 1-2, 2-3, 3-4 ou 4-5.

  2. Os quadrados: as 3 casas restantes recebem as estampas A, B e C, e estampas iguais não podem ficar lado a lado. O retalho P é diferente dos quadrados, então ele funciona como separador.

  3. Contagem sem restrição: cada casa recebe uma de 3 estampas, 3^3 = 27 sequências por posição do P.

  4. Aplicando a restrição, o número de vizinhanças entre quadrados depende da posição do P:

  • P nas pontas (casas 1-2 ou 4-5): os 3 quadrados ficam juntos em sequência, com 2 pares vizinhos. Escolhe-se a primeira em 3 modos e cada seguinte em 2: 3\cdot2\cdot2 = 12.
  • P nas casas 2-3: quadrados nas casas 1, 4 e 5. Só 4 e 5 são vizinhos: 3\cdot3\cdot2 = 18.
  • P nas casas 3-4: quadrados nas casas 1, 2 e 5. Só 1 e 2 são vizinhos: 3\cdot2\cdot3 = 18.
  1. Total: 12 + 18 + 18 + 12 = 60.

O enunciado diz haver pelo menos duas unidades de cada tipo, o que permite repetir estampas nos quadrados não vizinhos.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta poucas possibilidades, como se as três estampas tivessem de ser todas diferentes em uma única posição.
  • BConsidera só arranjos de estampas distintas: 4\cdot3!=24, ignorando que estampas iguais podem ficar separadas pelo retalho preto.
  • CNão corresponde a nenhuma contagem correta; resulta de erro ao tratar as vizinhanças.
  • DAplica 12 casos a todas as posições do retalho preto (4\cdot12), esquecendo que nas posições centrais o preto separa os quadrados.

Assuntos: análise combinatória, princípio multiplicativo.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 165 no caderno Azul do ENEM PPL 2023

Nos cadernos: Amarelo 148Cinza 161Azul 165Rosa 154