Questão 161 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática

Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade V de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento.

A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; a segunda indicou a retirada da terça parte do que restou; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na n-ésima medição, a retirada da (n + 1)-ésima parte do que restou.

Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições.

Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivamente,

  1. A
    \dfrac{7}{8}V, \dfrac{8}{9}V e \dfrac{9}{10}V
  2. B
    \dfrac{6}{7}V, \dfrac{7}{8}V e \dfrac{8}{9}V
  3. C
    \dfrac{6}{8}V, \dfrac{7}{9}V e \dfrac{8}{10}V
  4. D
    \dfrac{1}{7}V, \dfrac{1}{8}V e \dfrac{1}{9}V
  5. E
    \dfrac{1}{8}V, \dfrac{1}{9}V e \dfrac{1}{10}V
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Resolução comentada

Se em cada medição retira-se a (n+1)-ésima parte do que restou, sobra a fração \dfrac{n}{n+1} do volume anterior.

A primeira medição deixa \dfrac{1}{2}V. Na segunda, retira-se \dfrac{1}{3}, então resta \dfrac{2}{3} do que havia. Na terceira, resta \dfrac{3}{4}, e assim por diante.

O volume após a n-ésima medição é o produto dessas frações:

V_n = V\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{n}{n+1}

O numerador de cada fração cancela com o denominador da anterior (produto telescópico), e sobra:

V_n=\frac{1}{n+1}V

Conferindo: n=1 dá \frac{1}{2}V; n=2 dá \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}V. Está de acordo.

Agora aplicamos:

  1. 7ª medição: \dfrac{1}{8}V
  2. 8ª medição: \dfrac{1}{9}V
  3. 9ª medição: \dfrac{1}{10}V

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana por deslocar o índice: o volume após a n-ésima medição é \frac{1}{n+1}V, não \frac{1}{n}V.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa a fração retirada de cada etapa, sem multiplicar as frações que restam sucessivamente.
  • Busa apenas a fração restante de cada etapa isolada, sem acumular o produto.
  • Cinventa frações sem base no padrão, nem o produto acumulado.
  • Derra o índice: usa \frac{1}{n} em vez de \frac{1}{n+1}.

Assuntos: produto telescópico, frações, sequências.

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