Questão 160 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática

Duas empresas do mercado de pequenos reparos domésticos determinam o valor de seus serviços a partir de um valor fixo acrescido de um valor cobrado por hora. A empresa X cobra R$ 60,00 de valor fixo mais R$ 18,00 por hora de serviço prestado. A empresa Y cobra R$ 24,00 de valor fixo e está definindo um novo valor a ser cobrado por hora. Sua estratégia de mercado prevê que, em relação à empresa X, o custo total do serviço deve ser menor ou igual para trabalhos de até duas horas de duração.

Qual é o valor máximo, em real, que a empresa Y poderá cobrar por hora de serviço prestado a fim de atender à sua estratégia de mercado?

  1. A
    18
  2. B
    36
  3. C
    48
  4. D
    54
  5. E
    78
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Resolução comentada

Cada empresa cobra um valor fixo mais um valor por hora, ou seja, o custo é uma função afim do tempo t (em horas).

Empresa X: C_X(t) = 60 + 18t.

Empresa Y: C_Y(t) = 24 + pt, em que p é o valor por hora que queremos descobrir.

A estratégia exige C_Y(t) \leq C_X(t) para todo trabalho de até 2 horas, isto é, 0 \leq t \leq 2.

Como as duas são retas, a diferença C_X(t) - C_Y(t) = 36 + (18-p)t também é uma reta. Se p \leq 18, ela nunca é negativa. Se p > 18, ela decresce com t, e o pior caso é o maior tempo, t=2. Então basta impor a condição em t = 2:

  1. C_X(2) = 60 + 18\cdot 2 = 96.
  2. C_Y(2) = 24 + 2p.
  3. Condição: 24 + 2p \leq 96.
  4. 2p \leq 72, logo p \leq 36.

Com p = 36, as empresas cobram o mesmo em 2 horas (R$ 96,00). Para tempos menores, Y é mais barata, pois já parte de um valor fixo menor. Por exemplo, em 1 hora: Y cobra 24+36=60 e X cobra 78.

O valor máximo por hora é R$ 36,00.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ARepete o valor por hora da empresa X, mas Y tem fixo menor e pode cobrar mais por hora.
  • CResultado de erro de conta, por exemplo dividir 96 por 2 sem descontar o valor fixo de Y.
  • DNão corresponde a nenhuma condição: com 54 por hora, Y cobraria R$ 132,00 em 2 horas, mais que X.
  • EDivide apenas o fixo de X por algo inadequado ou soma valores; com 78 por hora Y cobraria R$ 180,00 em 2 horas.

Assuntos: função afim, inequação.

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