Questão 137 do ENEM PPL 2023

2º dia · Matemática

Uma empresa fundada em 2005, ao longo dos anos ganhou popularidade e aumentou consideravelmente sua atuação na economia do país. Os lucros anuais e seu padrão de crescimento podem ser observados na tabela.

Ano Lucro
(em milhares de reais)
2005 3
2006 5
2007 9
2008 17
2009 33
... ...

Supondo que se tenha mantido o padrão observado na tabela para os 5 anos seguintes, estima-se que o lucro total dessa empresa, de 2005 a 2014, em milhar de real, foi

  1. A
    120.
  2. B
    134.
  3. C
    1 025.
  4. D
    2 056.
  5. E
    2 074.
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Resolução comentada

Observe a sequência dos lucros: 3, 5, 9, 17, 33. As diferenças entre termos consecutivos são 2, 4, 8, 16, isto é, potências de 2. Logo, cada lucro é 2^n + 1: 3 = 2^1+1, 5 = 2^2+1, 9 = 2^3+1, 17 = 2^4+1, 33 = 2^5+1.

O ano 2005 corresponde a n=1, e o ano 2014 corresponde a n=10. Assim, o lucro total é a soma de n=1 até n=10 de (2^n+1).

  1. Soma das potências de 2 (PG de razão 2, primeiro termo 2, 10 termos):

    S = \frac{2(2^{10}-1)}{2-1} = 2(1023) = 2\,046

  2. Soma das 10 parcelas iguais a 1: 10.

  3. Total: 2\,046 + 10 = 2\,056 milhares de reais.

Conferindo com os termos: 3+5+9+17+33 = 67 (2005 a 2009); os cinco seguintes são 65, 129, 257, 513, 1025, que somam 1 989; então 67 + 1 989 = 2 056.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C (1 025) é o lucro apenas de 2014, e engana quem esquece que a questão pede o lucro total de 2005 a 2014.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor muito baixo, que não segue o crescimento por dobro; não corresponde à soma dos 10 termos.
  • BTrata o crescimento como linear ou soma poucos termos, ignorando o padrão de potências de 2.
  • CÉ apenas o lucro de 2014 (2^{10}+1), sem somar os anos anteriores.
  • ESoma 2^{11}+ 26 sem base; erro ao somar a PG ou ao contar os termos acrescentando algo a mais.

Assuntos: progressão geométrica, padrões e sequências, soma de termos.

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