Questão 164 do ENEM PPL 2020

2º dia · Matemática

Dois atletas partem de pontos, respectivamente P_1 e P_2, em duas pistas planas distintas, conforme a figura, deslocando-se no sentido anti-horário até a linha de chegada, percorrendo, desta forma, a mesma distância (L). Os trechos retos dos finais das curvas até a linha de chegada desse percurso têm o mesmo comprimento (l) nas duas pistas e são tangentes aos trechos curvos, que são semicírculos de centro C. O raio do semicírculo maior é R_1 e o raio do semicírculo menor é R_2.

Pistas planas de atletismo formadas por trechos retos e curvas semicirculares. À esquerda, a curva possui centro C; na pista externa está o ponto P1 com raio R1 até C, e na pista interna está o ponto P2 com raio R2 até C, formando um setor com ângulo central em C. Uma linha tracejada vertical no trecho inferior indica a linha de chegada.

Sabe-se que o comprimento de um arco circular é dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido em radiano, subentendido pelo arco.

Nas condições apresentadas, a razão da medida do ângulo P_2 \widehat{C} P_1 pela diferença L - l é dada por

  1. A
    R_2 - R_1
  2. B
    \dfrac{1}{R_1} - \dfrac{1}{R_2}
  3. C
    \dfrac{1}{R_2} - \dfrac{1}{R_1}
  4. D
    \dfrac{1}{R_2 - R_1}
  5. E
    \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Cada atleta percorre um arco de circunferência (a parte curva que resta a partir do ponto de partida até o fim do semicírculo) e depois o trecho reto de comprimento l. O comprimento de um arco é raio vezes ângulo em radianos.

Os dois pontos P_1 e P_2 estão alinhados com C (pela figura), então o ângulo P_2\widehat{C}P_1 é o mesmo para os dois raios. Chame-o de \theta. Cada semicírculo mede \pi rad, então o arco de cada atleta vai de sua posição inicial até o fim da curva, e o ângulo percorrido nesse arco é \alpha (medido a partir do ponto de partida).

Como a partida é no lado esquerdo, no sentido anti-horário, o arco percorrido é o mesmo ângulo \alpha para ambos: de P_1 e de P_2 ao fim do semicírculo. Como as distâncias totais são iguais:

  1. Pista externa: L = R_1\alpha_1 + l, logo L - l = R_1\alpha_1.
  2. Pista interna: L - l = R_2\alpha_2.

Os ângulos \alpha_1 e \alpha_2 diferem exatamente pelo ângulo \theta entre as direções CP_1 e CP_2: o atleta interno parte de um ponto mais adiantado na curva, portanto percorre menos ângulo. Assim, \alpha_1=\alpha_2+\theta? Pela figura, P_1 está mais abaixo (mais atrasado no giro anti-horário) que P_2, então P_1 tem ângulo maior a percorrer... Na verdade, o atleta externo tem o arco de raio maior, e para a mesma distância total precisa percorrer menos ângulo; logo \alpha_2=\alpha_1+\theta.

Assim:

\frac{L-l}{R_2}=\frac{L-l}{R_1}+\theta
\theta=(L-l)\left(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}\right)

Logo:

\frac{\theta}{L-l}=\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana por trocar a ordem da subtração: como R_1>R_2, ela daria um ângulo negativo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubtrai os raios diretamente, sem relacionar arco, raio e ângulo.
  • BInverte a ordem da subtração; daria ângulo negativo, pois R_2<R_1.
  • DUsa o inverso da diferença dos raios, que não vem da relação arco = raio × ângulo.
  • ESoma os inversos dos raios em vez de subtrair.

Assuntos: comprimento de arco, razão entre grandezas, geometria plana.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 164 no caderno Azul do ENEM PPL 2020

Nos cadernos: Amarelo 170Cinza 153Azul 164Rosa 171