Questão 146 do ENEM PPL 2020

2º dia · Matemática · H12

Para identificar visualmente uma loja de pet shop, um empresário criou uma logomarca que se assemelha a uma marca deixada pela pegada de um gato, como na figura. O maior círculo tem medida de raio igual a 6 cm.

O empresário pretende reproduzir o desenho em uma das paredes retangulares da loja. Para isso, fará a ampliação da logomarca utilizando a escala de 1 : 25.

Logomarca circular com quatro círculos menores dispostos em arco na parte superior e uma figura semicircular na parte inferior, lembrando a pegada de um gato

A área mínima, em metro quadrado, que a parede deverá ter para que a logomarca seja aplicada é

  1. A
    2,25.
  2. B
    6,00.
  3. C
    7,06.
  4. D
    9,00.
  5. E
    36,00.
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Resolução comentada

A logomarca inteira cabe dentro do maior círculo, de raio 6 cm. Então o menor retângulo de parede que a comporta é um quadrado cujo lado é o diâmetro desse círculo.

A escala 1:25 significa que cada 1 cm do desenho vira 25 cm na parede. Isso vale para comprimentos, e não para áreas.

  1. Diâmetro na logomarca: 2 \times 6 = 12\ \text{cm}.
  2. Diâmetro na parede: 12 \times 25 = 300\ \text{cm} = 3\ \text{m}.
  3. A parede precisa ter, no mínimo, um quadrado de lado 3\ \text{m}, pois o círculo de diâmetro 3\ \text{m} só cabe em um retângulo de lados de pelo menos 3\ \text{m}.
  4. Área mínima: 3 \times 3 = 9\ \text{m}^2.

O valor \pi r^2 do círculo (cerca de 7{,}06\ \text{m}^2) é a área do desenho ampliado, mas a parede é retangular e precisa conter o círculo inteiro, incluindo os cantos do quadrado que ficam vazios.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem calcula a área do círculo ampliado e esquece que a parede é retangular, então precisa do quadrado de lado igual ao diâmetro.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa lado de 1,5 m, ou seja, o raio ampliado em vez do diâmetro.
  • BNão corresponde a nenhum cálculo coerente com a escala e o diâmetro.
  • CCalcula só a área do círculo ampliado (\pi \cdot 1{,}5^2 \approx 7{,}06), mas a parede retangular precisa comportar o quadrado circunscrito.
  • EAplica a escala 1:25 à área em vez de ao comprimento, ou erra a conversão de unidades.

Assuntos: escala, área do quadrado e do círculo.

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