Questão 143 do ENEM PPL 2020

2º dia · Matemática

Um determinado campeonato de futebol, composto por 20 times, é disputado no sistema de pontos corridos. Nesse sistema, cada time joga contra todos os demais times em dois turnos, isto é, cada time joga duas partidas com cada um dos outros times, sendo que cada jogo pode terminar empatado ou haver um vencedor.

Sabendo-se que, nesse campeonato, ocorreram 126 empates, o número de jogos em que houve ganhador é igual a

  1. A
    64.
  2. B
    74.
  3. C
    254.
  4. D
    274.
  5. E
    634.
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Resolução comentada

Primeiro, vamos contar o total de jogos do campeonato. Cada par de times se enfrenta duas vezes (dois turnos).

  1. Número de pares de times: C_{20,2} = \frac{20\cdot 19}{2} = 190.
  2. Como cada par joga duas partidas: 190 \cdot 2 = 380 jogos.

Outro modo de ver: cada um dos 20 times joga 19 jogos por turno, ou seja, 20 \cdot 19 = 380 jogos no total (cada time mandante contra cada visitante).

Cada jogo termina empatado ou com um ganhador. Então:

  1. Jogos com ganhador = total − empates = 380 - 126 = 254.

Assim, houve 254 jogos com vencedor.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A engana quem conta só um turno (190 jogos) e esquece que cada par se enfrenta duas vezes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubtrai os empates de 190 (só um turno), obtendo 64, esquecendo os dois turnos.
  • BResultado sem base na contagem correta, próximo de 190 − 126 com erro de conta; não corresponde ao total de jogos.
  • DErro de cálculo na subtração 380 − 126, que dá 254 e não 274.
  • EUsa 760 jogos (20·19·2), contando duas vezes cada partida do turno duplo, e subtrai 126.

Assuntos: análise combinatória, combinação.

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