Questão 161 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

Uma empresa sorteia prêmios entre os funcionários como reconhecimento pelo tempo trabalhado. A tabela mostra a distribuição de frequência de 20 empregados dessa empresa que têm de 25 a 35 anos trabalhados. A empresa sorteou, entre esses empregados, uma viagem de uma semana, sendo dois deles escolhidos aleatoriamente.

Tempo de serviço Número de empregados
25 4
27 1
29 2
30 2
32 3
34 5
35 3

Qual a probabilidade de que ambos os sorteados tenham 34 anos de trabalho?

  1. A
    \frac{1}{20}
  2. B
    \frac{1}{19}
  3. C
    \frac{1}{16}
  4. D
    \frac{2}{20}
  5. E
    \frac{5}{20}
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Resolução comentada

São 20 empregados no total (4+1+2+2+3+5+3 = 20), e 5 deles têm 34 anos de trabalho. Como os dois sorteados são escolhidos entre os mesmos 20 funcionários, o segundo sorteio é feito sem reposição: ninguém pode ser sorteado duas vezes.

A probabilidade de ambos terem 34 anos é o produto de duas probabilidades:

  1. Primeiro sorteado com 34 anos: \frac{5}{20}.
  2. Segundo sorteado com 34 anos, dado que o primeiro tinha: restam 19 empregados, dos quais 4 têm 34 anos, então \frac{4}{19}.

Multiplicando:

P = \frac{5}{20}\cdot\frac{4}{19} = \frac{20}{380} = \frac{1}{19}

Conferindo por combinação: casos favoráveis \binom{5}{2}=10; casos possíveis \binom{20}{2}=190; \frac{10}{190}=\frac{1}{19}. O resultado é o mesmo.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem esquece que o sorteio é sem reposição e usa 20 no denominador do segundo ffator, em vez de 19 (com 4 favoráveis).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula \frac{5}{20}\cdot\frac{4}{20}, tratando o segundo sorteio como com reposição (20 pessoas).
  • CNão corresponde a nenhum cálculo correto; \frac{1}{16} resultaria de \frac{5}{20}\cdot\frac{5}{20} (com reposição e 5 favoráveis), e não é o caso.
  • D\frac{2}{20} não tem base: ignora que são dois sorteios sucessivos e que é preciso multiplicar as probabilidades.
  • EÉ só a probabilidade de o primeiro sorteado ter 34 anos, esquecendo o segundo.

Assuntos: probabilidade, eventos sucessivos sem reposição.

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