Questão 160 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

Uma equipe de cientistas decidiu iniciar uma cultura com exemplares de uma bactéria, em uma lâmina, a fim de determinar o comportamento dessa população. Após alguns dias, os cientistas verificaram os seguintes fatos:

  • a cultura cresceu e ocupou uma área com o formato de um círculo;
  • o raio do círculo formado pela cultura de bactérias aumentou 10% a cada dia;
  • a concentração na cultura era de 1 000 bactérias por milímetro quadrado e não mudou significativamente com o tempo.

Considere que r representa o raio do círculo no primeiro dia, Q a quantidade de bactérias nessa cultura no decorrer do tempo e d o número de dias transcorridos.

Qual é a expressão que representa Q em função de r e d?

  1. A
    Q=\left(10^3(1{,}1)^{d-1}r\right)^2\pi
  2. B
    Q=10^3\left((1{,}1)^{d-1}r\right)^2\pi
  3. C
    Q=10^3\left(1{,}1(d-1)r\right)^2\pi
  4. D
    Q=2\times10^3(1{,}1)^{d-1}r\pi
  5. E
    Q=2\times10^3\left(1{,}1(d-1)r\right)\pi
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Resolução comentada

Precisamos de duas ideias: o raio cresce em progressão geométrica e a quantidade de bactérias é a concentração vezes a área.

  1. O raio aumenta 10% ao dia, então a cada dia ele é multiplicado por 1{,}1. No dia 1 o raio é r; no dia 2 é 1{,}1\,r; no dia 3 é (1{,}1)^2 r. No dia d, foram d-1 aumentos a partir do primeiro dia:
R_d=(1{,}1)^{d-1}\,r
  1. A área do círculo é \pi R_d^2:
A=\pi\left((1{,}1)^{d-1}r\right)^2
  1. A concentração é de 1\,000=10^3 bactérias por \text{mm}^2, então a quantidade de bactérias é a concentração multiplicada pela área:
Q=10^3\left((1{,}1)^{d-1}r\right)^2\pi

Note que o 10^3 multiplica a área inteira, e não o raio. Só o raio fica elevado ao quadrado, pois a concentração é por área.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana por trocar a posição do 10^3: ele ficaria elevado ao quadrado junto com o raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Acoloca o 10^3 dentro dos parênteses, elevando a concentração ao quadrado (resultaria em 10^6).
  • Ctrata o crescimento como linear, 1{,}1(d-1), em vez de exponencial (1{,}1)^{d-1}.
  • Dusa o comprimento 2\pi R da circunferência em vez da área e não eleva o raio ao quadrado.
  • Emistura a fórmula do comprimento da circunferência com crescimento linear do raio.

Assuntos: progressão geométrica, área do círculo, porcentagem.

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