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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 158 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Os movimentos ondulatórios (periódicos) são representados por equações do tipo \pm A\sen(wt + \theta), que apresentam parâmetros com significados físicos importantes, tais como a frequência w = \dfrac{2\pi}{T}, em que T é o período; A é a amplitude ou deslocamento máximo; \theta é o ângulo de fase 0 \le \theta < \dfrac{2\pi}{w}, que mede o deslocamento no eixo horizontal em relação à origem no instante inicial do movimento.

O gráfico representa um movimento periódico, P = P(t), em centímetro, em que P é a posição da cabeça do pistão do motor de um carro em um instante t, conforme ilustra a figura.

Gráfico da função senoidal P(t) em relação ao tempo t. O eixo vertical P varia de -4 a 4, e o eixo horizontal t tem marcações em 0, π/2, π, 3π/2, 2π, 5π/2, 3π, 7π/2 e 4π. A curva parte da origem (0, 0), sobe até o valor máximo 4, desce cruzando o eixo t em π/2, atinge o mínimo em -4 e cruza o eixo t novamente em π, completando um ciclo a cada período de π.

A expressão algébrica que representa a posição P(t), da cabeça do pistão, em função do tempo t é

  1. A
    P(t) = 4\sen(2t)
  2. B
    P(t) = -4\sen(2t)
  3. C
    P(t) = -4\sen(4t)
  4. D
    P(t) = 4\sen\left(2t + \dfrac{\pi}{4}\right)
  5. E
    P(t) = 4\sen\left(4t + \dfrac{\pi}{4}\right)
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Resolução comentada

A função tem a forma P(t) = A\sen(wt + \theta). Precisamos descobrir A, w e \theta lendo o gráfico.

  1. Amplitude: o valor máximo é 4 e o mínimo é -4, então A = 4.

  2. Fase: a curva sai da origem, P(0)=0, e logo em seguida sobe. Isso é o comportamento de \sen(wt) sem deslocamento, então \theta = 0. O sinal de A é positivo, pois a curva sobe primeiro. Com -4\sen, ela desceria primeiro.

  3. Período: no gráfico, os picos aparecem em cerca de \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4} e assim por diante, ou seja, de \pi em \pi. Ao longo de 0 a 4\pi há 4 ciclos completos, então T = \pi. Verificação: a curva cruza o eixo em 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi e volta a 0 em \pi, completando um ciclo.

  4. Frequência: w = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2.

Assim, P(t) = 4\sen(2t).

Teste: em t=\dfrac{\pi}{4}, P = 4\sen\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 4, o máximo, como no gráfico. Em t=\dfrac{\pi}{2}, P = 4\sen(\pi)=0, também de acordo.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bo sinal negativo faria a curva descer primeiro após a origem, mas o gráfico sobe.
  • Ctem sinal negativo e w=4, que daria período \pi/2, e não \pi.
  • Da fase \pi/4 deslocaria a curva, e ela não passaria pela origem, que é onde o gráfico começa.
  • Etem w=4 (período \pi/2) e ainda uma fase que não existe no gráfico.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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