Questão 157 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

As coordenadas usualmente utilizadas na localização de um ponto sobre a superfície terrestre são a latitude e a longitude. Para tal, considera-se que a Terra tem a forma de uma esfera.

Um meridiano é uma circunferência sobre a superfície da Terra que passa pelos polos Norte e Sul, representados na figura por PN e PS. O comprimento da semicircunferência que une os pontos PN e PS tem comprimento igual a 20 016 km. A linha do Equador também é uma circunferência sobre a superfície da Terra, com raio igual ao da Terra, sendo que o plano que a contém é perpendicular ao que contém qualquer meridiano.

Seja P um ponto na superfície da Terra, C o centro da Terra e o segmento \overline{PC} um raio, conforme mostra a figura. Seja \varphi o ângulo que o segmento \overline{PC} faz com o plano que contém a linha do Equador. A medida em graus de \varphi é a medida da latitude de P.

Esfera representando a Terra com o centro C, polos Norte (PN) e Sul (PS), a circunferência da linha do Equador e uma semicircunferência de meridiano. Um ponto P na superfície está ligado ao centro C pelo segmento PC, que forma um ângulo fi com a projeção no plano do Equador.

Suponha que a partir da linha do Equador um navio viaja subindo em direção ao Polo Norte, percorrendo um meridiano, até um ponto P com 30 graus de latitude.

Quantos quilômetros são percorridos pelo navio?

  1. A
    1 668
  2. B
    3 336
  3. C
    5 004
  4. D
    6 672
  5. E
    10 008
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Resolução comentada

A semicircunferência do meridiano, de PN a PS, mede 20 016 km e corresponde a um arco de 180^\circ no centro C da Terra. Como o comprimento de um arco é proporcional ao ângulo central, dá para usar uma regra de três.

O navio parte do Equador (latitude 0^\circ) e vai até a latitude de 30^\circ. O ângulo \varphi é justamente o ângulo central desse arco, então o navio percorre um arco de 30^\circ sobre o meridiano.

  1. 180^\circ \rightarrow 20\,016\ \text{km}
  2. 30^\circ \rightarrow x
  3. x = \dfrac{30 \cdot 20\,016}{180} = \dfrac{20\,016}{6}
  4. x = 3\,336\ \text{km}

Conferindo: 6 \cdot 3\,336 = 20\,016. Está correto.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Adivide 20 016 por 12, como se o arco fosse de 15^\circ.
  • Cdivide 20 016 por 4, correspondendo a um arco de 45^\circ.
  • Dusa o dobro do valor correto, tratando o arco como 60^\circ.
  • Etoma a metade da semicircunferência, que seria a latitude de 90^\circ no sentido errado, ou seja, um arco de 90^\circ.

Assuntos: comprimento de arco, proporcionalidade, geometria da esfera.

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