Questão 144 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura máxima de 40 centímetros. A fórmula é h = 5\cdot\log_2(t + 1), em que t é o tempo contado em dia e h, a altura da planta em centímetro.

A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em dia, ela alcançará sua altura máxima?

  1. A
    63
  2. B
    96
  3. C
    128
  4. D
    192
  5. E
    255
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Resolução comentada

A fórmula dá a altura h em função do tempo t. Para achar o tempo, basta isolar t usando a definição de logaritmo: \log_2 x = y \iff x = 2^y.

A planta é vendida quando h = 30 e atinge o máximo quando h = 40. Vamos achar o dia de cada um.

  1. Altura de venda (h = 30):

    30 = 5\cdot\log_2(t+1) \Rightarrow \log_2(t+1) = 6 \Rightarrow t + 1 = 2^6 = 64 \Rightarrow t = 63

  2. Altura máxima (h = 40):

    40 = 5\cdot\log_2(t+1) \Rightarrow \log_2(t+1) = 8 \Rightarrow t + 1 = 2^8 = 256 \Rightarrow t = 255

  3. A pergunta é quanto tempo passa depois da venda até a altura máxima, ou seja, a diferença entre os dois instantes:

    255 - 63 = 192 \text{ dias}

O tempo t = 255 é contado desde o brotamento, e não a partir da venda; por isso é preciso subtrair os 63 dias que já haviam passado.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem calcula o dia da altura máxima (255) e esquece que o tempo pedido conta a partir da venda, exigindo subtrair 63.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ o dia em que a planta atinge 30 cm (t = 63), não o tempo restante até o máximo.
  • BNão corresponde a nenhum cálculo correto; é valor sem relação com a diferença 255 − 63.
  • CÉ 2^7, resultado de tomar log₂(t+1) = 7, que não corresponde a nenhuma das alturas.
  • EÉ o tempo total desde o brotamento (t = 255), sem descontar os 63 dias até a venda.

Assuntos: função logarítmica, equação logarítmica.

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