Questão 143 do ENEM PPL 2019

2º dia · Matemática

No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram a quantidade Q de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática de t. Os dados coletados nas duas primeiras horas foram:

t (hora) 0 1 2
Q (miligrama) 1 4 6

Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os pesquisadores querem saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado.

Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a

  1. A
    4.
  2. B
    7.
  3. C
    8.
  4. D
    9.
  5. E
    10.
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Resolução comentada

Uma função quadrática tem a forma Q(t)=at^2+bt+c. Vamos usar os três pontos da tabela para achar a, b e c.

  1. Para t=0: Q(0)=c=1, então c=1.
  2. Para t=1: a+b+1=4, logo a+b=3.
  3. Para t=2: 4a+2b+1=6, logo 4a+2b=5.

Da etapa 2, b=3-a. Substituindo na etapa 3:

4a+2(3-a)=5 \Rightarrow 2a+6=5 \Rightarrow a=-\tfrac{1}{2}

Então b=3+\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}, e a função é:

Q(t)=-\tfrac{1}{2}t^2+\tfrac{7}{2}t+1

O último dado foi coletado em t=2. Uma hora depois, t=3:

Q(3)=-\tfrac{9}{2}+\tfrac{21}{2}+1=6+1=7

Conferindo por diferenças: os aumentos foram 3 e 2, e a segunda diferença de uma quadrática é constante, igual a -1. O próximo aumento é 2-1=1, e 6+1=7. Confere.

A quantidade será de 7 mg.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor que a substância tinha em t = 1; não corresponde a t = 3.
  • CSupõe que os aumentos continuam diminuindo de forma errada (soma 2 ao último valor), ignorando a segunda diferença de −1.
  • DTrata os aumentos como se fossem uma progressão que cresce, o que contradiz a concavidade da parábola.
  • EExtrapola um crescimento de 4 mg, sem respeitar a função quadrática obtida.

Assuntos: função quadrática, interpolação de dados.

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