Questão 158 do ENEM PPL 2018

2º dia · Matemática

Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância de 150 metros do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que atinge em relação ao solo é de 25 metros.

Trajetória parabólica descrita por pontos representando um projétil disparado por um canhão à direita, atingindo o solo à esquerda; a distância horizontal total é indicada como 150 m e a altura máxima atingida na vertical é indicada como 25 m.

Admita um sistema de coordenadas xy em que no eixo vertical y está representada a altura e no eixo horizontal x está representada a distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto (150; 0) e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy.

A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é

  1. A
    y = 150x - x^2
  2. B
    y = 3\,750x - 25x^2
  3. C
    75y = 300x - 2x^2
  4. D
    125y = 450x - 3x^2
  5. E
    225y = 150x - x^2
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Resolução comentada

A parábola corta o eixo x em x=0 e x=150, que são as raízes. Então ela pode ser escrita na forma fatorada: y = a\cdot x\,(x-150).

O vértice fica no meio das raízes, em x = 75, e a altura máxima é 25. Logo, o ponto (75; 25) pertence à curva.

  1. Substituindo: 25 = a\cdot 75\cdot(75-150)
  2. 25 = a\cdot 75\cdot(-75) = -5\,625\,a
  3. a = -\dfrac{25}{5\,625} = -\dfrac{1}{225}

Assim, y = -\dfrac{1}{225}\,x(x-150) = \dfrac{150x - x^2}{225}.

Multiplicando os dois lados por 225:

225y = 150x - x^2

Conferindo: em x=75, 150\cdot 75 - 75^2 = 11\,250 - 5\,625 = 5\,625, e 5\,625/225 = 25. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Atem as raízes certas, mas a=-1 dá altura máxima 5\,625 m, não 25 m.
  • Bem x=75 dá y = 3\,750\cdot75 - 25\cdot 5\,625, muito maior que 25; e a raiz não é 150.
  • Cas raízes são 0 e 150, mas o vértice em x=75 dá y=(22\,500-11\,250)/75=150, não 25.
  • Da outra raiz seria x=150, mas em x=75 dá y=(33\,750-16\,875)/125=135, não 25.

Assuntos: função quadrática, equação da parábola, vértice da parábola.

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