Questão 155 do ENEM PPL 2018

Question

A água comercializada em garrafões pode ser classificada como muito ácida, ácida, neutra, alcalina ou muito alcalina, dependendo de seu pH, dado pela expressão

pH = \log_{10} \frac{1}{H},

em que H é a concentração de íons de hidrogênio, em mol por decímetro cúbico. A classificação da água de acordo com seu pH é mostrada no quadro.

pH	Classificação
pH \ge 9	Muito alcalina
7{,}5 \le pH < 9	Alcalina
6 \le pH < 7{,}5	Neutra
3{,}5 \le pH < 6	Ácida
pH < 3{,}5	Muito ácida

Para o cálculo da concentração H, uma distribuidora mede dois parâmetros A e B, em cada fonte, e adota H como sendo o quociente de A por B. Em análise realizada em uma fonte, obteve A = 10^{-7} e a água dessa fonte foi classificada como neutra.

O parâmetro B, então, encontrava-se no intervalo

A
(-10^{14{,}5},\ -10^{13}]
B
\left[ 10^{-\frac{6}{7}},\ 10^{-1} \right)
C
\left[ 10^{-1},\ 10^{\frac{1}{2}} \right)
D
\left[ 10^{13},\ 10^{14{,}5} \right)
E
\left[ 10^{6 \times 10^7},\ 10^{7{,}5 \times 10^7} \right)

Answer 1

Questão 155 do ENEM PPL 2018

2º dia · Matemática

A água comercializada em garrafões pode ser classificada como muito ácida, ácida, neutra, alcalina ou muito alcalina, dependendo de seu pH, dado pela expressão

pH = \log_{10} \frac{1}{H},

em que H é a concentração de íons de hidrogênio, em mol por decímetro cúbico. A classificação da água de acordo com seu pH é mostrada no quadro.

pH	Classificação
pH \ge 9	Muito alcalina
7{,}5 \le pH < 9	Alcalina
6 \le pH < 7{,}5	Neutra
3{,}5 \le pH < 6	Ácida
pH < 3{,}5	Muito ácida

Para o cálculo da concentração H, uma distribuidora mede dois parâmetros A e B, em cada fonte, e adota H como sendo o quociente de A por B. Em análise realizada em uma fonte, obteve A = 10^{-7} e a água dessa fonte foi classificada como neutra.

O parâmetro B, então, encontrava-se no intervalo

A
(-10^{14{,}5},\ -10^{13}]
B
\left[ 10^{-\frac{6}{7}},\ 10^{-1} \right)
C
\left[ 10^{-1},\ 10^{\frac{1}{2}} \right)
D
\left[ 10^{13},\ 10^{14{,}5} \right)
E
\left[ 10^{6 \times 10^7},\ 10^{7{,}5 \times 10^7} \right)

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Resolução comentada

O pH é \log_{10}\frac{1}{H}, e a água é neutra quando 6 \le pH < 7{,}5. Com H = \frac{A}{B} = \frac{10^{-7}}{B}, o primeiro passo é escrever \frac{1}{H}:

\frac{1}{H} = \frac{B}{10^{-7}} = B\cdot 10^{7}

Condição de neutra: 6 \le \log_{10}(B\cdot 10^{7}) < 7{,}5.
Como \log_{10} é crescente, aplicamos a exponencial de base 10 sem inverter as desigualdades: 10^{6} \le B\cdot 10^{7} < 10^{7{,}5}.
Dividimos tudo por 10^{7}: 10^{6-7} \le B < 10^{7{,}5-7}, ou seja, 10^{-1} \le B < 10^{0{,}5}.

Assim, B \in \left[10^{-1},\ 10^{1/2}\right). Note que B é positivo, o que é necessário para o logaritmo existir, e isso elimina o intervalo negativo da alternativa A.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem inverte o quociente, usando H = B/A em vez de A/B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aapresenta intervalo negativo, mas B precisa ser positivo para o logaritmo existir.
Berra o expoente inferior e o superior; não resulta de 10^{6-7} e 10^{7{,}5-7}.
Dusa H = B/A (quociente invertido), obtendo B da ordem de 10^{13} a 10^{14{,}5}.
Emultiplica os expoentes por 10^7 em vez de dividir B por 10^7.

Assuntos: logaritmo, inequações exponenciais.

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