Questão 147 do ENEM PPL 2017

2º dia · Matemática

Os computadores operam com dados em formato binário (com dois valores possíveis apenas para cada dígito), utilizando potências de 2 para representar quantidades. Assim, tem-se, por exemplo: 1\text{ kB} = 2^{10}\textit{ Bytes}, 1\text{ MB} = 2^{10}\text{ kB} e 1\text{ GB} = 2^{10}\text{ MB}, sendo que 2^{10} = 1\ 024. Nesse caso, tem-se que kB significa quilobyte, MB significa megabyte e GB significa gigabyte. Entretanto, a maioria dos fabricantes de discos rígidos, pendrives ou similares adotam preferencialmente o significado usual desses prefixos, em base 10. Assim, nos produtos desses fabricantes, 1\text{GB} = 10^3\text{ MB} = 10^6\text{ kB} = 10^9\textit{ Bytes}. Como a maioria dos programas de computadores utilizam as unidades baseadas em potências de 2, um disco informado pelo fabricante como sendo de 80 GB aparecerá aos usuários como possuindo, aproximadamente, 75 GB.

Um disco rígido está sendo vendido como possuindo 500 gigabytes, considerando unidades em potências de 10.

Qual dos valores está mais próximo do valor informado por um programa que utilize medidas baseadas em potências de 2?

  1. A
    468 GB
  2. B
    476 GB
  3. C
    488 GB
  4. D
    500 GB
  5. E
    533 GB
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Resolução comentada

O fabricante usa base 10: 500\ \text{GB} = 500 \cdot 10^9 bytes. O programa usa base 2, em que 1\ \text{GB} = 2^{30} bytes, pois 2^{10}\cdot 2^{10}\cdot 2^{10} = 1\,024^3.

Para achar o valor que o programa mostra, dividimos o total de bytes pelo tamanho do GB em base 2:

  1. 1\,024^3 = 1\,073\,741\,824 \approx 1{,}0737\cdot 10^9 bytes.
  2. Valor mostrado: \dfrac{500\cdot 10^9}{1{,}0737\cdot 10^9} = \dfrac{500}{1{,}0737}.
  3. Fazendo a conta: 500 / 1{,}0737 \approx 465{,}7.

O valor mais próximo de 465{,}7 entre as alternativas é 468 GB.

Conferindo com o exemplo do enunciado: 80/1{,}0737 \approx 74{,}5 \approx 75\ \text{GB}, o que confirma o método. O GB em base 2 é maior que o de base 10, então o número mostrado é menor que 500.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem multiplica em vez de dividir; a D engana quem acha que os valores coincidem.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem justificativa exata; fica acima do resultado correto de cerca de 465,7 GB.
  • CAproxima-se de 500 usando apenas a razão 1,024, em vez de 1{,}024^3.
  • DIgnora a diferença entre as bases 10 e 2.
  • EMultiplica por 1,0737 em vez de dividir, dando um valor maior que 500.

Assuntos: potências, conversão de unidades, aproximação.

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