Questão 176 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V - A + F = 2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.

Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?

  1. A
    2V - 4F = 4
  2. B
    2V - 2F = 4
  3. C
    2V - F = 4
  4. D
    2V + F = 4
  5. E
    2V + 5F = 4
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Resolução comentada

Como todas as faces são triângulos, cada face tem 3 arestas. Se multiplicarmos 3F, contamos cada aresta duas vezes, pois cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces. Logo:

  1. 3F = 2A, ou seja, A = \dfrac{3F}{2}.

  2. Substituímos na relação de Euler V - A + F = 2:

V - \frac{3F}{2} + F = 2

  1. Simplificamos: V - \frac{F}{2} = 2.

  2. Multiplicamos tudo por 2 para tirar a fração:

2V - F = 4

Verificação com o tetraedro: V = 4 e F = 4, então 2\cdot 4 - 4 = 4. Com o octaedro: V = 6 e F = 8, então 12 - 8 = 4. Com o icosaedro: V = 12 e F = 20, então 24 - 20 = 4. Todos confirmam a relação.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão é satisfeita nem pelo tetraedro: 2\cdot4-4\cdot4=-8\neq4; vem de erro na relação entre arestas e faces.
  • BDaria V-F=2, que não vale para o tetraedro (4-4=0); ignora a contagem das arestas.
  • DTroca o sinal de F; para o tetraedro daria 8+4=12\neq4.
  • ESinal e coeficiente errados; para o tetraedro daria 8+20=28\neq4.

Assuntos: relação de Euler, poliedros de Platão.

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