Questão 170 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

A cobertura de uma tenda de lona tem formato de uma pirâmide de base quadrada e é formada usando quatro triângulos isósceles de base y. A sustentação da cobertura é feita por uma haste de medida x. Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se calcular a área da superfície da cobertura da tenda.

Esquema de uma pirâmide de base quadrada, com um lado da base indicado por y e uma haste vertical ligando o centro da base ao vértice superior. Linhas tracejadas indicam segmentos na base e arestas ocultas. À direita, uma haste vertical é representada separadamente, com sua medida indicada por x.

A área da superfície da cobertura da tenda, em função de y e x, é dada pela expressão

  1. A
    2y\sqrt{x^2+\dfrac{y^2}{4}}
  2. B
    2y\sqrt{x^2+\dfrac{y^2}{2}}
  3. C
    4y\sqrt{x^2+y^2}
  4. D
    4\sqrt{x^2+\dfrac{y^2}{4}}
  5. E
    4\sqrt{x^2+\dfrac{y^2}{2}}
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Resolução comentada

A superfície da cobertura é formada por 4 triângulos isósceles iguais, de base y (o lado do quadrado). A área de cada um é \dfrac{y\cdot h}{2}, em que h é a altura do triângulo, isto é, o apótema da pirâmide, medido da aresta da base até o vértice.

A haste x é a altura da pirâmide: vai do centro da base ao vértice. Do centro da base até o ponto médio de um lado da base a distância é \dfrac{y}{2} (metade do lado do quadrado).

O apótema h, a haste x e o segmento \dfrac{y}{2} formam um triângulo retângulo, com h como hipotenusa:

  1. h^2 = x^2 + \left(\dfrac{y}{2}\right)^2 = x^2 + \dfrac{y^2}{4}
  2. h = \sqrt{x^2+\dfrac{y^2}{4}}
  3. Área de um triângulo: \dfrac{y\,h}{2}
  4. Área total: 4\cdot\dfrac{y\,h}{2} = 2y\,h

Portanto:

A = 2y\sqrt{x^2+\dfrac{y^2}{4}}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa y^2/2 dentro da raiz, como se a distância do centro ao lado fosse y/\sqrt{2} (metade da diagonal).
  • Cusa y inteiro no cateto da base e ainda multiplica por 4y, sem dividir por 2.
  • Desquece o fator y da base na área dos triângulos.
  • Eesquece o fator y e ainda usa y^2/2 na raiz.

Assuntos: pirâmide, área de superfície, teorema de Pitágoras.

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