Questão 168 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

Na figura estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferências: C_1 (de raio 3 e centro O_1) e C_2 (de raio 1 e centro O_2), tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas circunferências nos pontos P e Q.

Plano cartesiano com eixos x e y e duas circunferências tangentes entre si, com centros O₁ e O₂ sobre o eixo x. A circunferência maior, C₁, é tangente ao eixo y na origem; a menor, C₂, está à sua direita. A reta decrescente t tangencia C₁ no ponto P e C₂ no ponto Q e intercepta o eixo x no ponto R. Os raios O₁P e O₂Q estão tracejados, com marcas de ângulo reto nos pontos de tangência.

Nessas condições, a equação da reta t é

  1. A
    y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}
  2. B
    y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3\sqrt{3}
  3. C
    y = -x + 4
  4. D
    y = -\frac{2}{3}x + 4
  5. E
    y = -\frac{4}{5}x + 4
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Resolução comentada

Pela figura, C₁ é tangente ao eixo y na origem e tem raio 3, então O_1=(3,0). As circunferências são tangentes externamente, logo O_1O_2=3+1=4 e O_2=(7,0).

Os raios O_1P e O_2Q são perpendiculares à reta t, portanto paralelos entre si. Isso forma os triângulos retângulos RO_1P e RO_2Q, semelhantes (ângulo comum em R).

  1. Sendo RO_2=d, então RO_1=d+4.
  2. Semelhança: \frac{O_2Q}{O_1P}=\frac{RO_2}{RO_1}, ou seja, \frac{1}{3}=\frac{d}{d+4}.
  3. Assim d+4=3d, então d=2 e RO_1=6.
  4. Logo R=(3+6,0)=(9,0).

No triângulo RO_1P: \sen\alpha=\frac{O_1P}{RO_1}=\frac{3}{6}=\frac12, então \alpha=30^\circ, onde \alpha é o ângulo em R.

Como a reta é decrescente, o coeficiente angular é m=-\tg 30^\circ=-\frac{\sqrt3}{3}.

Equação passando por R(9,0):

y=-\frac{\sqrt3}{3}(x-9)=-\frac{\sqrt3}{3}x+3\sqrt3

Conferindo: em x=0, y=3\sqrt3\approx5{,}2, compatível com a figura, em que a reta corta o eixo y acima do topo da circunferência maior (altura 6? não: a reta passa acima de y=3, coerente).

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem confunde o ângulo em R (30°) com o complementar (60°), obtendo tg 60° = √3 no lugar de tg 30° = √3/3.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa o coeficiente -\sqrt3 (tangente de 60°), confundindo o ângulo com o complementar.
  • Cassume inclinação de 45°, sem justificativa pela geometria da figura.
  • Dcoeficiente -2/3 não decorre da semelhança de triângulos; o intercepto 4 não confere com R=(9,0).
  • Ecoeficiente -4/5 e intercepto 4 não passam por R=(9,0) nem dão tangente a C_1.

Assuntos: geometria analítica, equação da reta, semelhança de triângulos.

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