Questão 166 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor de imóveis, com a intenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua residência. No projeto da casa, que esta família tem em mente, irão necessitar de uma área de pelo menos 400\text{ m}^2. Após algumas avaliações, ficaram de decidir entre os lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, cujos preços são R$ 100 000,00 e R$ 150 000,00, respectivamente.

Representação dos lotes 1 e 2. O Lote 1 é um paralelogramo com base de 30 m, lado inclinado de 15 m e ângulo interno de 60 graus. O Lote 2 é um retângulo com base de 30 m e altura de 15 m, com marcações de ângulos retos.

Use \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} e 1{,}7 como aproximações, respectivamente, para \sen(60^\circ), \cos(60^\circ) e \sqrt{3}.

Para colaborarem na decisão, os envolvidos fizeram as seguintes argumentações:

Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que as diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área;

Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para executar nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a mesma área;

Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a execução do projeto;

Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de mesma medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato;

Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro quadrado.

A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a)

  1. A
    pai.
  2. B
    mãe.
  3. C
    filho 1.
  4. D
    filho 2.
  5. E
    corretor.
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Resolução comentada

Primeiro calculamos as áreas. A área de um paralelogramo é o produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles.

  1. Lote 1: A_1 = 30 \cdot 15 \cdot \sen 60^\circ = 450 \cdot \frac{1{,}7}{2} = 450 \cdot 0{,}85 = 382{,}5\ \text{m}^2.
  2. Lote 2 (retângulo): A_2 = 30 \cdot 15 = 450\ \text{m}^2.

O projeto exige pelo menos 400\ \text{m}^2. Só o Lote 2 atende, pois 382{,}5 < 400 < 450. Isso confirma o Filho 1.

Custo por metro quadrado:

  • Lote 1: \frac{100\,000}{382{,}5} \approx 261{,}4 reais/m².
  • Lote 2: \frac{150\,000}{450} \approx 333{,}3 reais/m².

O Lote 2 é mais caro por metro quadrado, então o corretor erra.

Os demais:

  • Pai: a diagonal maior do Lote 1 não garante maior área, e a área do Lote 1 é menor.
  • Mãe: perímetros iguais não implicam áreas iguais, pois as áreas são 382{,}5 e 450.
  • Filho 2: lados iguais não implicam áreas iguais, pois o ângulo também importa.

Só o Filho 1 argumentou corretamente.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana por lembrar que os lados são iguais e esquecer que o ângulo muda a área; a E engana quem compara só o preço total ou não divide pela área real.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Adiagonal maior não implica área maior; a área do Lote 1 (382,5 m²) é menor que a do Lote 2 (450 m²).
  • Bmesmo perímetro não garante mesma área; o ângulo de 60° reduz a área do Lote 1.
  • Dlados iguais não bastam para áreas iguais, e o Lote 1 (382,5 m²) não atinge 400 m².
  • Eo Lote 2 custa cerca de R$ 333,33/m², mais caro que o Lote 1 (cerca de R$ 261,44/m²).

Assuntos: área do paralelogramo, trigonometria, razão preço por área.

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