Questão 162 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada \text{m}^2. A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para \pi.

Jardim circular com um quadrado inscrito na circunferência. O interior do quadrado está em branco, e a região entre o quadrado e a circunferência está sombreada em cinza.

O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte descrita do jardim é

  1. A
    100.
  2. B
    140.
  3. C
    200.
  4. D
    800.
  5. E
    1 000.
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Resolução comentada

A terra vegetal cobre a região entre a circunferência e o quadrado inscrito. Então a área a cobrir é a área do círculo menos a área do quadrado.

  1. Raio do círculo: o diâmetro é 20 m, logo r = 10\ \text{m}.

  2. Área do círculo, com \pi \approx 3:

    A_c = \pi r^2 = 3 \cdot 10^2 = 300\ \text{m}^2

  3. Área do quadrado inscrito: a diagonal do quadrado é o diâmetro da circunferência, ou seja, d = 20\ \text{m}. Para um quadrado de lado \ell, a diagonal é d = \ell\sqrt{2}, e a área é \ell^2 = \dfrac{d^2}{2}:

    A_q = \frac{20^2}{2} = 200\ \text{m}^2

  4. Área sombreada:

    A = 300 - 200 = 100\ \text{m}^2

  5. Quantidade de terra: são 15 kg por \text{m}^2, então

    100 \cdot 15 = 1\,500\ \text{kg}

  6. Como cada saco tem exatamente 15 kg:

    \frac{1\,500}{15} = 100\ \text{sacos}

Observe que o número de sacos coincide com a área em \text{m}^2, pois 15 kg por \text{m}^2 e 15 kg por saco se cancelam.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhum cálculo correto; parece vir de um erro no valor da área do quadrado ou do círculo.
  • CUsa apenas a área do quadrado (200 m²), que é a região das pedras, e não a da terra.
  • DNão tem base na conta; resulta de usar medidas erradas, como o raio ou a diagonal no lugar do lado.
  • EConfunde a unidade e usa 1 000 sem relação com a área sombreada de 100 m².

Assuntos: área do círculo, quadrado inscrito, áreas de figuras planas.

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