Questão 161 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

Tradicionalmente uma pizza média de formato circular tem diâmetro de 30 cm e é dividida em 8 fatias iguais (mesma área). Uma família, ao se reunir para o jantar, fará uma pizza de formato circular e pretende dividi-la em 10 fatias também iguais. Entretanto, eles desejam que cada fatia dessa pizza tenha o mesmo tamanho (mesma área) de cada fatia da pizza média quando dividida em 8 fatias iguais.

Qual o valor mais próximo do raio com que deve ser feita a pizza, em centímetro, para que eles consigam dividi-la da forma pretendida?

Use 2{,}2 como aproximação para \sqrt{5}.

  1. A
    15,00
  2. B
    16,50
  3. C
    18,75
  4. D
    33,00
  5. E
    37,50
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Resolução comentada

A ideia central é que a área de cada fatia é a área total da pizza dividida pelo número de fatias. Para as fatias serem iguais, a pizza nova (10 fatias) deve ter área total proporcional a 10, e a média (8 fatias) proporcional a 8.

  1. Pizza média: diâmetro 30 cm, logo raio 15 cm e área \pi\cdot 15^2 = 225\pi.
  2. Área de cada fatia da média: \dfrac{225\pi}{8}.
  3. Pizza nova, com raio r e 10 fatias: cada fatia tem área \dfrac{\pi r^2}{10}.
  4. Igualando as áreas das fatias:
\frac{\pi r^2}{10}=\frac{225\pi}{8}
  1. Isolando r^2:
r^2=\frac{2250}{8}=\frac{1125}{4}
  1. Extraindo a raiz: r=\dfrac{\sqrt{1125}}{2}. Como 1125 = 225\cdot 5, temos \sqrt{1125}=15\sqrt{5}.
r=\frac{15\sqrt{5}}{2}\approx\frac{15\cdot 2{,}2}{2}=\frac{33}{2}=16{,}5\ \text{cm}

O raio deve ser cerca de 16,5 cm, um pouco maior que 15 cm, o que faz sentido: mais fatias exigem uma pizza maior.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece de dividir por 2 no final e entrega o diâmetro (33 cm) no lugar do raio; a C engana quem aplica proporção direta 10/8 ao raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Amantém o raio de 15 cm da pizza média, ignorando que serão 10 fatias em vez de 8.
  • Cescala o raio pela razão 10/8 (15·1,25), mas a área depende do quadrado do raio.
  • Desquece de dividir por 2 e chega a 15√5 ≈ 33, que é o diâmetro, não o raio.
  • Emultiplica o raio por 2,5, sem base no cálculo das áreas.

Assuntos: área do círculo, proporcionalidade, raiz quadrada.

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