Questão 153 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

Em sua vez de jogar, um jogador precisa dar uma tacada na bola branca, de forma a acertar a bola 9 e fazê-la cair em uma das caçapas de uma mesa de bilhar. Como a bola 8 encontra-se entre a bola branca e a bola 9, esse jogador adota a estratégia de dar uma tacada na bola branca em direção a uma das laterais da mesa, de forma que, ao rebater, ela saia em uma trajetória retilínea, formando um ângulo de 90^\circ com a trajetória da tacada, conforme ilustrado na figura.

Mesa de bilhar com caçapas e bolas representada em um sistema cartesiano de eixos x e y, mostrando as trajetórias retilíneas pontilhadas da tacada, com rebatimento na borda superior em x = 2 sob ângulo reto, atingindo a bola 9 em (3 ; 3) e seguindo para a caçapa inferior direita em (6 ; 0).

Com essa estratégia, o jogador conseguiu encaçapar a bola 9. Considere um sistema cartesiano de eixos sobre o plano da mesa, no qual o ponto de contato da bola com a mesa define sua posição nesse sistema. As coordenadas do ponto que representa a bola 9 são (3\ ;\ 3), o centro da caçapa de destino tem coordenadas (6\ ;\ 0) e a abscissa da bola branca é 0{,}5, como representados na figura.

Se a estratégia deu certo, a ordenada da posição original da bola branca era

  1. A
    1,3.
  2. B
    1,5.
  3. C
    2,1.
  4. D
    2,2.
  5. E
    2,5.
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Resolução comentada

A bola branca bate na borda superior no ponto de abscissa x=2, e a trajetória depois do rebatimento faz 90^\circ com a da tacada. Esse ponto de contato é P=(2;\,y_P), e a segunda trajetória passa por P, pela bola 9 (3;3) e pela caçapa (6;0).

  1. Coeficiente angular da reta que passa por (3;3) e (6;0):

    m=\frac{0-3}{6-3}=-1

  2. Equação dessa reta: y-0=-1\,(x-6), ou seja, y=-x+6.

  3. Em x=2 (ponto de rebatimento): y_P=-2+6=4. Logo P=(2;\,4).

  4. Retas perpendiculares têm coeficientes angulares com produto -1. Como m=-1, a reta da tacada tem coeficiente m'=1.

  5. Reta da tacada por P(2;4): y-4=1\,(x-2), ou seja, y=x+2.

  6. A bola branca está em x=0{,}5:

    y=0{,}5+2=2{,}5

Confira: de (0{,}5;\,2{,}5) até (2;\,4) a variação é 1{,}5 em x e 1{,}5 em y, inclinação 1, como esperado.

A ordenada original da bola branca era 2{,}5.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a reta y=x+2; não decorre de nenhuma etapa correta do cálculo.
  • BConfunde a ordenada com a diferença de abscissas (2-0{,}5=1{,}5), sem usar a reta da tacada.
  • CResulta de erro na ordenada do ponto de rebatimento ou no coeficiente da reta; não satisfaz y=x+2.
  • DTambém não satisfaz y=x+2 em x=0{,}5; é resultado de erro de conta.

Assuntos: geometria analítica, retas perpendiculares, coeficiente angular.

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