Questão 159 do ENEM PPL 2015

2º dia · Matemática

Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões:

  • Pote I: raio a e altura 2b
  • Pote II: raio 2a e altura b
  • Pote III: raio 2a e altura 2b
  • Pote IV: raio 4a e altura b
  • Pote V: raio 4a e altura 2b

O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Resolução comentada

O volume de um cilindro é V = \pi r^2 h, em que r é o raio da base e h é a altura.

O pote apresentado tem raio a e altura b, então:

V_0 = \pi a^2 b

O cliente quer o dobro desse volume, ou seja, 2\pi a^2 b. Note que o raio entra ao quadrado na fórmula, e a altura entra elevada a 1. Vamos testar cada pote:

  1. Pote I: \pi a^2 (2b) = 2\pi a^2 b. É exatamente o dobro.
  2. Pote II: \pi (2a)^2 b = 4\pi a^2 b, o quádruplo.
  3. Pote III: \pi (2a)^2 (2b) = 8\pi a^2 b, oito vezes.
  4. Pote IV: \pi (4a)^2 b = 16\pi a^2 b, dezesseis vezes.
  5. Pote V: \pi (4a)^2 (2b) = 32\pi a^2 b, trinta e duas vezes.

Só o pote I tem o dobro do volume: dobrar a altura mantendo o raio dobra o volume, pois o volume é proporcional à altura.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem pensa que dobrar o raio dobra o volume, esquecendo que o raio está elevado ao quadrado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bdobrar o raio multiplica a área da base por 4, então o volume fica quadruplicado, não dobrado.
  • Cdobra raio e altura ao mesmo tempo, o que resulta em volume 8 vezes maior.
  • Dquadruplicar o raio multiplica o volume por 16.
  • Equadruplica o raio e dobra a altura, resultando em volume 32 vezes maior.

Assuntos: volume do cilindro, proporcionalidade.

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