Questão 154 do ENEM PPL 2015

2º dia · Matemática

Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.

A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Plano cartesiano com malha de quadrados, eixos x e y e quatro pontos representando estabelecimentos: A em (5, 4), B em (−3, 1), C em (4, 2) e D em (−4, −3). Os eixos têm setas no sentido positivo, sem valores numéricos indicados. A legenda “1 quarteirão:” apresenta um quadrado correspondente a uma unidade da malha.

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 31 \leq 0.

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.

Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas

  1. A
    A e C.
  2. B
    B e C.
  3. C
    B e D.
  4. D
    A, B e C.
  5. E
    B, C e D.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

A inequação de uma circunferência na forma x^2+y^2+ax+by+c\leq 0 descreve o círculo (borda e interior). Para enxergar centro e raio, completamos os quadrados.

  1. x^2-2x = (x-1)^2-1
  2. y^2-4y=(y-2)^2-4
  3. Substituindo: (x-1)^2-1+(y-2)^2-4-31\leq 0, ou seja, (x-1)^2+(y-2)^2\leq 36.

O centro é (1,2) e o raio é 6. Um ponto ouve a rádio se a distância ao quadrado até o centro for no máximo 36. Pelas coordenadas da figura, testamos cada ponto:

  • A(5,4): (4)^2+(2)^2=16+4=20\leq 36 ✔
  • B(-3,1): (-4)^2+(-1)^2=16+1=17\leq 36 ✔
  • C(4,2): (3)^2+0^2=9\leq 36 ✔
  • D(-4,-3): (-5)^2+(-5)^2=25+25=50>36 ✘

Assim, A, B e C estão na área de cobertura e D está fora.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aomite o ponto B, que está dentro do círculo (distância² = 17).
  • Bomite o ponto A, que está dentro (distância² = 20 ≤ 36).
  • Cinclui D, que está fora (50 > 36), e omite A e C.
  • Einclui D, que está fora (50 > 36), e omite A.

Assuntos: equação da circunferência, inequação do círculo, geometria analítica.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 154 no caderno Cinza do ENEM PPL 2015

Nos cadernos: Cinza 154Cinza 159Cinza 150Cinza 144