Questão 142 do ENEM PPL 2014
Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede.
Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0{,}3121212\dots
O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são
- A103 em cada 330.
- B104 em cada 333.
- C104 em cada 3 333.
- D139 em cada 330.
- E1 039 em cada 3 330.
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Resolução comentada
O índice é uma dízima periódica: 0{,}3121212\dots, com o 3 fora do período e o período 12 se repetindo. Para achar a fração geratriz, isolamos a parte periódica.
- Chame x = 0{,}3121212\dots
- Multiplique por 10 para o período começar logo após a vírgula: 10x = 3{,}121212\dots
- Multiplique por 1000 para o ciclo 12 passar uma vez para a esquerda da vírgula: 1000x = 312{,}1212\dots
- Subtraia 10x de 1000x, o que elimina a parte periódica:
1000x - 10x = 312{,}1212\dots - 3{,}1212\dots
990x = 309 - Então x = \dfrac{309}{990}. Dividindo numerador e denominador por 3: x = \dfrac{103}{330}.
Como o índice é a razão entre admiradores e visitantes, isso significa 103 admiradores em cada 330 visitantes.
Conferindo: 103 \div 330 = 0{,}31212\dots, o que confere com o enunciado.
Alternativa A.
Por que as outras alternativas estão erradas
- B104/333 = 0{,}312312\dots, cujo período é 312, e não 12 após o 3.
- C104/3333 \approx 0{,}0312, valor muito menor que o índice dado.
- D139/330 \approx 0{,}4212\dots, resultado de erro na subtração da geratriz.
- E1039/3330 = 0{,}312012\dots, que não é a dízima do enunciado.
Assuntos: dízima periódica, fração geratriz, razão.
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