Questão 173 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática

O proprietário de uma casa de espetáculos observou que, colocando o valor da entrada a R$ 10,00, sempre contava com 1 000 pessoas a cada apresentação, faturando R$ 10 000,00 com a venda dos ingressos. Entretanto, percebeu também que, a partir de R$ 10,00, a cada R$ 2,00 que ele aumentava no valor da entrada, recebia para os espetáculos 40 pessoas a menos.

Nessas condições, considerando P o número de pessoas presentes em um determinado dia e F o faturamento com a venda dos ingressos, a expressão que relaciona o faturamento em função do número de pessoas é dada por:

  1. A
    F = \frac{-P^2}{20} + 60 P
  2. B
    F = \frac{P^2}{20} - 60 P
  3. C
    F = -P^2 + 1\ 200 P
  4. D
    F = \frac{-P^2}{20} + 60
  5. E
    F = P^2 - 1\ 200 P
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Resolução comentada

O faturamento é o preço do ingresso vezes o número de pessoas: F = p \cdot P. Precisamos escrever o preço p em função de P.

A cada aumento de R$ 2,00 no preço, o público cai 40 pessoas. Então a variação do preço por pessoa é:

\frac{\Delta p}{\Delta P} = \frac{+2}{-40} = -\frac{1}{20}

O ponto de partida é p = 10 com P = 1\,000. Assim, a relação entre preço e público é uma reta:

  1. p - 10 = -\frac{1}{20}(P - 1\,000)
  2. p = 10 - \frac{P}{20} + 50
  3. p = 60 - \frac{P}{20}

Conferindo: com P = 1\,000, p = 60 - 50 = 10. Com P = 960, p = 60 - 48 = 12, o que confere com o aumento de R$ 2,00.

Agora multiplicamos pelo número de pessoas:

F = p \cdot P = \left(60 - \frac{P}{20}\right)P = -\frac{P^2}{20} + 60P

É uma parábola com concavidade para baixo, o que faz sentido: preço alto demais esvazia a casa.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Btroca os sinais: teria concavidade para cima e faturamento negativo para valores comuns de P.
  • Cusa coeficiente -1 para P^2, como se cada pessoa a menos aumentasse o preço em R$ 1,00, ignorando a razão 2/40.
  • Desquece de multiplicar o preço por P, deixando o termo 60 sem P.
  • Etem sinais invertidos e o coeficiente errado, resultando em faturamento negativo.

Assuntos: função quadrática, modelagem de função afim.

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