Questão 166 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática

Ao realizar uma compra em uma loja de departamentos, o cliente tem o direito de participar de um jogo de dardo, no qual, de acordo com a região do alvo acertada, ele pode ganhar um ou mais prêmios. Caso o cliente acerte fora de todos os quatro círculos, ele terá o direito de repetir a jogada, até que acerte uma região que dê o direito de ganhar pelo menos um prêmio. O alvo é o apresentado na figura:

Alvo com quatro círculos sobrepostos, identificados como Torradeira, Liquidificador, Cafeteira e Batedeira. No centro, um quadrado com vértices A, B, C e D está sobreposto aos círculos.

Ao acertar uma das regiões do alvo, ele terá direito ao(s) prêmio(s) indicado(s) nesta região. Há ainda o prêmio extra, caso o cliente acerte o dardo no quadrado ABCD.

João Maurício fez uma compra nessa loja e teve o direito de jogar o dardo. A quantidade de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar, sabendo que ele jogou o dardo aleatoriamente, é exatamente:

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
  5. E
    5.
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Resolução comentada

A probabilidade de acertar uma região é proporcional à sua área. Então a quantidade de prêmios com menor probabilidade é a da região de menor área, e para isso é preciso contar quantos prêmios cada região dá.

O alvo tem quatro círculos iguais, dispostos como Torradeira (superior esquerdo), Liquidificador (superior direito), Cafeteira (inferior esquerdo) e Batedeira (inferior direito). Os quatro se sobrepõem no centro, onde está o quadrado ABCD, que dá um prêmio extra.

Contando os prêmios por região:

  1. Região só em um círculo (as "pontas" externas): 1 prêmio.
  2. Região em dois círculos vizinhos (por exemplo Torradeira e Liquidificador, acima de A): 2 prêmios.
  3. Região em três círculos: nas figuras desse tipo, aparecem regiões pequenas junto aos lados do quadrado, fora dele. Pela simetria, cada uma fica dentro de três círculos: 3 prêmios.
  4. Dentro do quadrado ABCD, os quatro círculos se sobrepõem: 4 prêmios, mais o extra do quadrado, total 5.

O quadrado ABCD é a região central, e seus vértices ficam nas interseções dos círculos. Ele é menor que as regiões de 3 prêmios, que são faixas entre o quadrado e os arcos? Não: essas faixas ficam entre os lados do quadrado e os arcos, e são finíssimas, por isso muito menores que o quadrado.

Assim, a região de menor área é a dessas pequenas faixas junto aos lados do quadrado, que ficam dentro de três círculos e fora do quadrado. Porém elas não dão 4: ficam dentro de quatro círculos? Os arcos passam pelos vértices, então cada faixa está dentro dos quatro círculos, mais o extra, se fosse quadrado; fora do quadrado, dão 4 prêmios.

Portanto a menor probabilidade é a das faixas finas fora do quadrado, com 4 prêmios.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAs regiões com um só prêmio são as pontas externas, de área grande, logo de alta probabilidade.
  • BAs regiões de dois prêmios têm área considerável, bem maior que as faixas finas junto ao quadrado.
  • CAs regiões com três prêmios são maiores que as faixas estreitas ao redor do quadrado.
  • EOs 5 prêmios ficam no quadrado central, que tem área bem maior que as faixas finas.

Assuntos: probabilidade geométrica, áreas, interpretação de figura.

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