Questão 158 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática

O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:

Terreno retangular cinza com vértices A e B em cantos opostos. Os pontos C e D estão, respectivamente, nos lados inferior e superior, próximos a A e B. A altura indicada é 10 m e o comprimento, 31,5 m.

Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m² mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é

(Aproxime \sqrt{3} para 1,7 e \pi para 3.)

  1. A
    30.
  2. B
    34.
  3. C
    50.
  4. D
    61.
  5. E
    69.
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Resolução comentada

Cada lâmpada fica sobre um lado maior do terreno (C embaixo, D em cima), a 2,5 m do vértice mais próximo. O terreno tem 10 m de largura e o raio da luz é 5 m, então o círculo chega exatamente ao lado oposto. Só a parte do círculo que está dentro do retângulo conta.

Tomando C como centro, o lado esquerdo do terreno está a 2,5 m dele, que é metade do raio. O círculo ultrapassa esse lado, e essa parte fica fora do terreno. Também a parte abaixo do lado inferior fica fora, pois C está sobre esse lado. Assim, a região útil é o círculo cortado pelo lado inferior (metade do círculo) e pelo lado esquerdo.

  1. Meio círculo: \frac{\pi \cdot 5^2}{2} = \frac{3\cdot 25}{2} = 37{,}5\ \text{m}^2.

  2. Retirar do meio círculo o segmento circular à esquerda da reta vertical a 2,5 m do centro. Nessa reta, \cos\theta = \frac{2{,}5}{5} = \frac12, então \theta = 60^\circ e o segmento inteiro (acima e abaixo) tem ângulo central de 120^\circ.

  3. Área do setor de 120^\circ: \frac{1}{3}\cdot 3\cdot 25 = 25\ \text{m}^2.

  4. Triângulo com vértice no centro: base 2\cdot 5\sen 60^\circ = 5\sqrt3 \approx 8{,}5 e altura 2,5, área \frac{8{,}5\cdot 2{,}5}{2} \approx 10{,}6\ \text{m}^2.

  5. Segmento inteiro: 25 - 10{,}6 = 14{,}4\ \text{m}^2. Metade (a parte acima do lado inferior): 7{,}2\ \text{m}^2.

  6. Área iluminada por uma lâmpada: 37{,}5 - 7{,}2 \approx 30{,}3\ \text{m}^2.

As duas lâmpadas estão bem afastadas (31,5 m entre as extremidades), sem sobreposição. Total: 2\cdot 30{,}3 \approx 61\ \text{m}^2.

Alternativa D.

Pegadinha: Esquecer que o círculo ultrapassa o lado curto do terreno e usar dois meios círculos inteiros (75 m²).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só uma lâmpada, ignorando que há duas.
  • BValor sem relação com o cálculo correto; costuma vir de subtrair o segmento errado.
  • CAproximação que erra o desconto do segmento circular fora do terreno.
  • EDuas lâmpadas com meio círculo cada, sem descontar a parte que passa do lado esquerdo (75 m² seria o total) ou desconto insuficiente.

Assuntos: área de setor circular, geometria plana, trigonometria.

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