Questão 150 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática

Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = -x^2 + 12x - 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo.

Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a

  1. A
    4.
  2. B
    6.
  3. C
    9.
  4. D
    10.
  5. E
    14.
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Resolução comentada

O lucro é uma função do 2º grau, L(x) = -x^2 + 12x - 20, com a = -1. Como a<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e possui um ponto de máximo, o vértice.

O valor de x que dá o lucro máximo é a abscissa do vértice:

x_v = \frac{-b}{2a}
  1. Identificamos os coeficientes: a = -1, b = 12, c = -20.
  2. Substituímos: x_v = \frac{-12}{2\cdot(-1)} = \frac{-12}{-2} = 6.

Conferindo pelas raízes: -x^2+12x-20=0 equivale a x^2-12x+20=0, cujas raízes são 2 e 10. O vértice fica no ponto médio entre elas: \frac{2+10}{2}=6. Confere.

O lucro máximo é L(6) = -36 + 72 - 20 = 16.

Portanto, cada pacote deve conter 6 bonés.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem confunde a raiz da função (lucro nulo, x=10) com o ponto de lucro máximo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o vértice; com 4 bonés o lucro é L(4)=12, menor que L(6)=16.
  • CCom 9 bonés o lucro é L(9)=7, bem abaixo do máximo.
  • DÉ uma das raízes da função, onde o lucro é zero, e não o ponto de máximo.
  • ECom 14 bonés o lucro é negativo (L(14)=-48).

Assuntos: função quadrática, vértice da parábola.

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