Questão 148 do ENEM PPL 2013

2º dia · Matemática

O quadrado ABCD, de centro O e lado 2 cm, corresponde à trajetória de uma partícula P que partiu de M, ponto médio de AB, seguindo pelos lados do quadrado e passando por B, C, D, A até retornar ao ponto M.

Quadrado ABCD, com C no vértice superior esquerdo, B no superior direito, D no inferior esquerdo e A no inferior direito. O é o centro, e M é o ponto médio do lado AB. Segmentos horizontal e vertical passam pelo centro e dividem o quadrado em quatro partes.

Seja F(x) a função que representa a distância da partícula P ao centro O do quadrado, a cada instante de sua trajetória, sendo x (em cm) o comprimento do percurso percorrido por tal partícula. Qual o gráfico que representa F(x)?

  1. A
    Gráfico com eixos x e y. A curva começa em (0, 1), tem máximos próximos de 1,4 em x = 1, 3, 5 e 7, e mínimos iguais a 1 em x = 2, 4, 6 e 8.
  2. B
    Gráfico com eixos x e y e um segmento horizontal em y = 1, de x = 0 até x = 8.
  3. C
    Gráfico com eixos x e y. Linha em zigue-zague começa em (0, 1), atinge y = 2 em x = 1, 3, 5 e 7, e retorna a y = 1 em x = 2, 4, 6 e 8.
  4. D
    Gráfico com eixos x e y. Linha em zigue-zague começa em (0, 2), atinge y = 1 em x = 1, 3, 5 e 7, e retorna a y = 2 em x = 2, 4, 6 e 8.
  5. E
    Gráfico com eixos x e y. A curva começa próxima de y = 1,4 em x = 0, tem mínimos iguais a 1 em x = 1, 3, 5 e 7, e máximos próximos de 1,4 em x = 2, 4, 6 e 8.
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Resolução comentada

O quadrado tem lado 2 cm, então a distância de O a cada lado é 1 cm (metade do lado). O ponto M, ponto médio de AB, está exatamente a 1 cm de O. Logo, em x=0, F(0)=1.

Quando a partícula anda sobre um lado, a distância a O é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Um cateto vale 1 (distância de O ao lado) e o outro é a distância da partícula ao ponto médio do lado.

  1. De M até B: percorre 1 cm. A distância ao centro passa de 1 a \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\approx 1{,}4 cm. Então F(1)\approx 1{,}4, o vértice B.
  2. De B até o meio de BC: mais 1 cm, e a distância volta a 1 cm. Então F(2)=1.
  3. O padrão se repete: máximos (\sqrt{2}) nos vértices, em x=1,3,5,7, e mínimos (1) nos pontos médios dos lados, em x=2,4,6,8.

Como F(x)=\sqrt{1+t^2}, com t a distância ao ponto médio do lado, a função não é linear: o gráfico é curvo (não é zigue-zague de retas), com "bicos" nos vértices.

O gráfico que começa em 1, tem máximos de cerca de 1,4 em x=1,3,5,7 e mínimos iguais a 1 em x=2,4,6,8 é o da alternativa A.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana por ter a curva correta, mas com máximos e mínimos trocados; só se percebe notando que M é ponto médio e F(0)=1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BSupõe a distância constante, como se a trajetória fosse uma circunferência de raio 1.
  • CUsa valores 1 e 2 e segmentos retos; o máximo correto é \sqrt{2}\approx1{,}4 e a curva não é linear.
  • DAlém de valores errados (1 e 2) e retas, começa em 2, mas F(0)=1.
  • ETem a forma certa, mas trocou máximos e mínimos: começa em 1,4, quando em M a distância é 1.

Assuntos: geometria plana, interpretação de gráficos, teorema de Pitágoras.

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