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Questão 72 (CFS 2) da EEAR 2024

CFS 2 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

– A figura dada é composta de um quadrado de 8\text{ cm} de lado e de três circunferências de raio r\text{ cm}. Se os centros das três circunferências estão alinhados e, ainda, as circunferências I e III são, cada uma, tangentes a dois lados do quadrado e à circunferência II, então o valor de r é _____ \text{cm}.

Quadrado contendo três circunferências tangentes entre si e alinhadas ao longo da diagonal, identificadas por I, II e III

  1. A
    5\sqrt{2}
  2. B
    \sqrt{2} + 1
  3. C
    2 + \sqrt{2}
  4. D
    4(\sqrt{2} - 1)
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Resolução comentada

Os centros das três circunferências estão sobre a diagonal do quadrado. A circunferência I é tangente a dois lados que se encontram em um vértice, então seu centro está a uma distância r de cada um desses lados. Isso o coloca sobre a diagonal, a r\sqrt{2} do vértice. A circunferência III faz o mesmo no vértice oposto.

A diagonal do quadrado mede 8\sqrt{2} cm.

Os centros de I e II, e de II e III, estão a 2r um do outro, porque as circunferências são tangentes e têm o mesmo raio. Assim, a distância entre os centros de I e III é 4r.

A diagonal se divide em três partes:

  1. do vértice ao centro de I: r\sqrt{2};
  2. do centro de I ao centro de III: 4r;
  3. do centro de III ao vértice oposto: r\sqrt{2}.

Somando:

2r\sqrt{2}+4r=8\sqrt{2}
r(2\sqrt{2}+4)=8\sqrt{2}\Rightarrow r=\frac{8\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}+2)}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}

Racionalizando, multiplicamos por (2-\sqrt{2}):

r=\frac{4\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{4-2}=\frac{8\sqrt{2}-8}{2}=4\sqrt{2}-4=4(\sqrt{2}-1)

Conferindo: r\approx1{,}66. Então 2r\sqrt{2}+4r\approx4{,}7+6{,}6=11{,}3\approx8\sqrt{2}, o que confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A5\sqrt{2}\approx7{,}07 é maior que a metade do lado, então as circunferências não caberiam no quadrado.
  • B\sqrt{2}+1\approx2{,}41 não satisfaz a equação 2r\sqrt{2}+4r=8\sqrt{2}, que dá r\approx1{,}66.
  • C2+\sqrt{2}\approx3{,}41 é grande demais; o resultado correto vem de racionalizar e resulta em 4\sqrt{2}-4.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 2. Prova oficial ↗