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Questão 49 (CFS 2) da EEAR 2024

CFS 2 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

– Num triângulo ABC, \text{BC} = 20\text{ cm}. Os pontos P, Q e R dividem o lado \overline{\text{AB}} em quatro partes iguais, sendo P o ponto mais próximo de B. Seja S um ponto de \overline{\text{AC}}, de forma que \overline{\text{PS}} // \overline{\text{BC}}. Então, \text{PS} = \text{\_\_\_ cm}.

  1. A
    15
  2. B
    10
  3. C
    9
  4. D
    5
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Resolução comentada

Quando uma reta é paralela a um lado do triângulo, ela forma um triângulo menor semelhante ao original (Teorema de Tales). Então os lados correspondentes são proporcionais.

O lado \overline{AB} foi dividido em 4 partes iguais pelos pontos P, Q e R, com P o mais próximo de B. A ordem dos pontos de B até A é, portanto: B, P, Q, R, A.

  1. Cada parte mede \frac{AB}{4}.
  2. De A até P há 3 partes: AP = \frac{3}{4}AB.
  3. Como PS \parallel BC, os triângulos APS e ABC são semelhantes (ângulo A comum e ângulos correspondentes iguais).
  4. A razão de semelhança é:
\frac{PS}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{3}{4}
  1. Com BC = 20\ \text{cm}:
PS=\frac{3}{4}\cdot 20 = 15\ \text{cm}

O cuidado está em identificar qual ponto é P: como ele é o mais próximo de B, o segmento AP tem 3 partes, e não 1.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece que P é o ponto mais próximo de B e usa AP = 1/4 de AB, em vez de 3/4.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa a razão 1/2, como se P fosse o ponto médio de AB.
  • Cnão corresponde a nenhuma razão de semelhança válida da figura (valor sem base na proporção).
  • Dusa a razão 1/4, tomando AP como uma parte só, o que seria o caso de P próximo de A.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 2. Prova oficial ↗