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Questão 85 (CFS 2) da EEAR 2022

CFS 2 · Física: Leis de Kepler

– As três leis de Kepler podem ser aplicadas para quaisquer sistemas em que corpos gravitam em torno de um corpo central, como é o caso de planetas em torno de uma estrela. Adotando a lei dos períodos de Kepler, pode-se afirmar corretamente que a relação entre o período de translação da Terra em torno do Sol (\text{T}_{\text{T}}) e o período de translação de Mercúrio em torno do Sol (\text{T}_{\text{M}}) é dado por:

Observação: o valor do raio médio da órbita de Mercúrio em torno do Sol é 40% do valor do raio médio da órbita da Terra em torno do Sol.

  1. A
    \text{T}_{\text{T}} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^{3/2}\text{T}_{\text{M}}
  2. B
    \text{T}_{\text{T}} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3/2}\text{T}_{\text{M}}
  3. C
    \text{T}_{\text{T}} = 5\text{T}_{\text{M}}
  4. D
    \text{T}_{\text{T}} = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{25}\right)\text{T}_{\text{M}}
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Resolução comentada

A terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio médio da órbita, para corpos que orbitam o mesmo astro central:

\frac{T^2}{R^3}=\text{constante}

Como Terra e Mercúrio orbitam o Sol, vale:

\frac{T_T^2}{R_T^3}=\frac{T_M^2}{R_M^3}

A observação diz que R_M = 40\%\,R_T = \dfrac{2}{5}R_T. Então R_T = \dfrac{5}{2}R_M.

  1. Isolando a razão dos períodos: \dfrac{T_T^2}{T_M^2}=\dfrac{R_T^3}{R_M^3}.
  2. Substituindo \dfrac{R_T}{R_M}=\dfrac{5}{2}: \dfrac{T_T^2}{T_M^2}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3.
  3. Tirando a raiz quadrada dos dois lados: \dfrac{T_T}{T_M}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^{3/2}.

Logo, T_T=\left(\dfrac{5}{2}\right)^{3/2}T_M.

Faz sentido fisicamente: a Terra está mais longe do Sol, então seu período é maior que o de Mercúrio, e a razão \left(\dfrac{5}{2}\right)^{3/2}\approx 3{,}95 é maior que 1.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem usa a razão 40% = 2/5 diretamente, sem notar que a Terra é a órbita maior e a razão deve ser 5/2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Binverte a razão dos raios, usando 2/5 em vez de 5/2, o que daria a Terra um período menor que o de Mercúrio.
  • Csupõe proporção direta entre período e raio, esquecendo que T^2\propto R^3.
  • Dé \left(\frac{2}{5}\right)^{3/2} simplificado, também com a razão invertida, resultando num valor menor que 1.

Assunto: Leis de Kepler.

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Fonte: EEAR 2022 · CFS 2. Prova oficial ↗