PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 64 (CFS 2) da EEAR 2022

CFS 2 · Matemática: Polinômios

– Sabe-se que os polinômios A(x) e B(x) têm grau 4 e que P(x) = A(x) \cdot B(x) e T(x) = A(x) + B(x) são polinômios não nulos. Assim, pode-se afirmar que os graus de P(x) e T(x) são, respectivamente, _____ e menor ou igual a _____.

  1. A
    4; 8
  2. B
    8; 8
  3. C
    4; 4
  4. D
    8; 4
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Resolução comentada

Vamos usar duas propriedades do grau de polinômios.

Produto: o grau do produto é a soma dos graus, pois o termo de maior grau de A\cdot B é o produto dos termos de maior grau, e esse produto nunca se anula (coeficientes dominantes não nulos).

\text{gr}(P) = \text{gr}(A) + \text{gr}(B) = 4 + 4 = 8

Soma: ao somar, os termos de mesmo grau se combinam. O maior grau possível continua sendo 4, mas pode haver cancelamento. Por exemplo, se A(x) = x^4 + x e B(x) = -x^4 + 1, então T(x) = x + 1, de grau 1. Os coeficientes de x^4 podem ter soma zero, o que reduz o grau. Por isso o grau de T é, no máximo, o maior dos graus:

\text{gr}(T) \le \max\{4,4\} = 4

O enunciado diz que T(x) é não nulo, então ele tem grau definido, e esse grau é menor ou igual a 4.

Assim, P(x) tem grau 8 e T(x) tem grau menor ou igual a 4.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ainverte os resultados: o produto tem grau 8 (soma dos graus), não 4, e a soma não passa de 4.
  • Bacerta o grau do produto, mas soma os graus também na adição; o grau da soma é no máximo 4, não 8.
  • Cacerta o limite para a soma, mas o grau do produto é 4+4=8, não 4.

Assunto: Polinômios.

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Fonte: EEAR 2022 · CFS 2. Prova oficial ↗