Questão 49 (CFS 1) da EEAR 2016

Para transformar em inequação do 2º grau, escreva tudo em função de 2^x e faça t = 2^x, com t>0.

1. Lado esquerdo: 2^{2x+1} = 2\cdot(2^x)^2 = 2t^2.
2. Lado direito: \frac{5}{4}\cdot 2^{x+2} - 2 = \frac{5}{4}\cdot 4t - 2 = 5t - 2.
3. A inequação fica 2t^2 < 5t - 2, ou seja, 2t^2 - 5t + 2 < 0.
4. Raízes: t = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{4} = \frac{5\pm 3}{4}, logo t=2 ou t=\frac{1}{2}.
5. A parábola tem concavidade para cima, então ela é negativa entre as raízes: \frac{1}{2} < t < 2. Essa faixa já satisfaz t>0.

Voltando para x: 2^{-1} < 2^x < 2^1. Como a base 2 é maior que 1, a função exponencial é crescente e mantém o sentido da desigualdade nos expoentes:

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AIntervalo sem relação com as raízes t=\frac12 e t=2; surge de erro ao converter as potências.
• CConsidera só 1 < t < 2 ou erra a raiz menor, esquecendo que t=\frac12 corresponde a x=-1.
• DToma a região fora do intervalo das raízes, como se a parábola fosse positiva, e usa só t>2 ou x>1.

Assuntos: Função exponencial, Equação do 2º grau.

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