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Questão 58 da UNICAMP 2025

1ª fase · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm sido utilizados para minimizar os danos causados por ela.

Uma indústria despeja numa lagoa, de forma indevida, água contaminada por um poluente a uma certa taxa. Dependendo da vazão da lagoa e da concentração do poluente, é possível verificar que a quantidade total desse contaminante na lagoa num tempo t, denotada por Q(t), é dada por

Q(t) = 20 + 2\text{ sen}(t) - 4\text{ cos}(t),

em que t representa o tempo medido em anos e Q(t) é medido em quilos. O gráfico que melhor representa a função Q(t), ou seja, a quantidade total do poluente na lagoa num tempo t é:

  1. A
    Gráfico cartesiano de Q(t) em função de t, com curva periódica senoidal que inicia em t = 0 no valor 16, atinge máximo próximo de 24,5 e mínimo próximo de 15,5.
  2. B
    Gráfico cartesiano de Q(t) em função de t, com curva que inicia em t = 0 no valor 16, atinge máximo abaixo de 20 e decai para oscilações amortecidas.
  3. C
    Gráfico cartesiano de Q(t) em função de t, com curva periódica senoidal que inicia em t = 0 no valor 20, atinge mínimo próximo de 11,5 e máximo próximo de 20,5.
  4. D
    Gráfico cartesiano de Q(t) em função de t, com curva que inicia em t = 0 no valor 20 e decai oscilando até valores próximos de 2,5.
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Resolução comentada

Primeiro, o valor inicial: em t=0, \text{sen}(0)=0 e \cos(0)=1, então

Q(0)=20+0-4=16.

Isso já elimina os gráficos que começam em 20 (C e D).

Restam A e B. A função 2\,\text{sen}(t)-4\cos(t) é uma senoide com amplitude

R=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}\approx 4{,}47.

Logo Q(t) oscila em torno de 20, com máximo 20+4{,}47\approx 24{,}5 e mínimo 20-4{,}47\approx 15{,}5. O período é 2\pi\approx 6{,}28 anos, sem amortecimento, pois não há termo que cresça ou decaia com t.

Conferindo o máximo: Q'(t)=2\cos t+4\,\text{sen}\,t=0 dá \tg t=-\tfrac12, ou seja, t\approx 2{,}68 (segundo quadrante). Nesse ponto, Q\approx 24{,}5, como no gráfico A. O mínimo ocorre em t\approx 5{,}82, com Q\approx 15{,}5.

O gráfico B tem máximo abaixo de 20 e oscilações amortecidas, o que não combina com uma senoide pura. O gráfico A tem início em 16, máximo próximo de 24,5 em t\approx 2{,}7 e mínimo próximo de 15,5 em t\approx 5{,}8, exatamente como calculado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BComeça em 16, mas mostra máximo abaixo de 20 e oscilação amortecida, o que não ocorre numa soma de seno e cosseno.
  • CComeça em 20 e tem mínimo em 11,5, o que não bate com Q(0)=16; parece ter sinais trocados.
  • DComeça em 20 e decai oscilando, comportamento que não é periódico em torno de 20.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2025. Prova oficial ↗