Uma pesquisa recente revelou um novo objeto astronômico que pode ser o Planeta 9. A hipótese da existência desse planeta foi concebida para explicar características comuns a vários objetos trans-netunianos, isto é, astros com órbitas que alcançam distâncias ao Sol muito maiores do que o planeta Netuno. a) No espaço de respostas, a figura A ilustra uma situação imaginária na qual o Sol, um planeta hipotético P , e um objeto trans-netuniano OTN são representados ao longo de uma linha reta. As distâncias de P e OTN ao Sol são apresentadas na figura A em unidades astronômicas, UA ( ). Supondo que a razão entre a massa mp do planeta P e a massa mSol do Sol seja dada por , para a situação da figura A, calcule: (i) a distância d entre o objeto OTN e o planeta P ; (ii) a razão entre os módulos das forças gravitacionais que o planeta P e o Sol exercem sobre OTN . b) De acordo com a terceira lei de Kepler, a razão entre o quadrado do período orbital ( T ) e o cubo do semieixo maior ( a ) da órbita elíptica é a mesma para todos os planetas que orbitam o Sol. Se o semieixo maior da órbita elíptica de outro planeta desconhecido D for dado por aD400UA , qual será o período TD , em anos terrestres, do movimento orbital do planeta D em torno do Sol? Considere os seguintes dados para o planeta Terra: , .

Questão 10 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2026

2º dia · Física

Uma pesquisa recente revelou um novo objeto astronômico que pode ser o Planeta 9. A hipótese da existência desse planeta foi concebida para explicar características comuns a vários objetos trans-netunianos, isto é, astros com órbitas que alcançam distâncias ao Sol muito maiores do que o planeta Netuno.

a) No espaço de respostas, a figura A ilustra uma situação imaginária na qual o Sol, um planeta hipotético P, e um objeto trans-netuniano OTN são representados ao longo de uma linha reta. As distâncias de P e OTN ao Sol são apresentadas na figura A em unidades astronômicas, UA (1\text{ UA} = \text{distância da Terra ao Sol}). Supondo que a razão entre a massa m_{\text{p}} do planeta P e a massa m_{\text{Sol}} do Sol seja dada por \frac{m_P}{m_{Sol}} \simeq 2 \times 10^{-5}, para a situação da figura A, calcule:
(i) a distância d entre o objeto OTN e o planeta P;
(ii) a razão q = \left|\vec{F}_P\right|/\left|\vec{F}_{Sol}\right| entre os módulos das forças gravitacionais que o planeta P \left(\vec{F}_P\right) e o Sol \left(\vec{F}_{Sol}\right) exercem sobre OTN.

b) De acordo com a terceira lei de Kepler, a razão entre o quadrado do período orbital (T) e o cubo do semieixo maior (a) da órbita elíptica é a mesma para todos os planetas que orbitam o Sol. Se o semieixo maior da órbita elíptica de outro planeta desconhecido D for dado por a_{\text{D}} \simeq 400\text{ UA}, qual será o período T_{\text{D}}, em anos terrestres, do movimento orbital do planeta D em torno do Sol? Considere os seguintes dados para o planeta Terra: a_{\text{Terra}} = 1\text{ UA}, T_{\text{Terra}} = 1\text{ ano}.

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Resposta esperada

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a)
i) d = d_{\text{OTN\_Sol}} - d_{\text{P\_Sol}} = (624 - 520)\ \text{UA} = 104\ \text{UA}

ii) |\vec{F}_{\text{P}}| = G\,\frac{m_{\text{P}}\,m_{\text{OTN}}}{(d)^2}\ ;\ |\vec{F}_{\text{Sol}}| = G\,\frac{m_{\text{Sol}}\,m_{\text{OTN}}}{(d_{\text{OTN\_Sol}})^2}

q = \frac{|\vec{F}_{\text{P}}|}{|\vec{F}_{\text{Sol}}|} = \frac{\cancel{G}\,\frac{m_{\text{P}}\,\cancel{m_{\text{OTN}}}}{(d)^2}}{\cancel{G}\,\frac{m_{\text{Sol}}\,\cancel{m_{\text{OTN}}}}{(d_{\text{OTN\_Sol}})^2}} = \left(\frac{m_{\text{P}}}{m_{\text{Sol}}}\right) \times \left(\frac{d_{\text{OTN\_Sol}}}{d}\right)^2 = (2 \times 10^{-5}) \times \left(\frac{624\ \text{UA}}{104\ \text{UA}}\right)^2 = (2 \times 10^{-5}) \times (6)^2

q = (2 \times 10^{-5}) \times 36 = 72 \times 10^{-5} = 7{,}2 \times 10^{-4}

b)
Terceira Lei de Kepler: \frac{T^2}{a^3} = cte \Rightarrow \frac{T_{\text{Terra}}^2}{a_{\text{Terra}}^3} = \frac{T_{\text{P}}^2}{a_{\text{P}}^3}

T_{\text{P}} = \left(\frac{a_{\text{P}}}{a_{\text{Terra}}}\right)^{3/2} T_{\text{Terra}} = \left(\frac{400\ \cancel{\text{UA}}}{1{,}0\ \cancel{\text{UA}}}\right)^{3/2} \times (1\ \text{ano})

T_{\text{P}} = \sqrt{(4)^3 \times (10^2)^3}\ \text{anos} = \sqrt{64 \times 10^6}\ \text{anos} = 8 \times 10^3\ \text{anos} = 8000\ \text{anos}

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