Questão 7 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2019

Question

Nos cruzamentos de avenidas das grandes cidades é comum encontrarmos, além dos semáforos tradicionais de controle de tráfego de carros, semáforos de fluxo de pedestres, com cronômetros digitais que marcam o tempo para a travessia na faixa de pedestres.

a) No instante em que o semáforo de pedestres se torna verde e o cronômetro inicia a contagem regressiva, uma pessoa encontra-se a uma distância d = 20\text{ m} do ponto de início da faixa de pedestres, caminhando a uma velocidade inicial v_0 = 0{,}5\text{ m/s}. Sabendo que ela inicia a travessia da avenida com velocidade v = 1{,}5\text{ m/s}, calcule a sua aceleração constante no seu deslocamento em linha reta até o início da faixa.

b) Considere agora uma pessoa que atravessa a avenida na faixa de pedestres, partindo de um lado da avenida com velocidade inicial v_0 = 0{,}4\text{ m/s} e chegando ao outro lado com velocidade final v = 1{,}2\text{ m/s}. O pedestre realiza todo o percurso com aceleração constante em um intervalo de tempo de t = 15\text{ s}. Construa o gráfico da velocidade do pedestre em função do tempo e, a partir do gráfico, calcule a largura da avenida.

Answer 1

Questão 7 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2019

2º dia · Física

Nos cruzamentos de avenidas das grandes cidades é comum encontrarmos, além dos semáforos tradicionais de controle de tráfego de carros, semáforos de fluxo de pedestres, com cronômetros digitais que marcam o tempo para a travessia na faixa de pedestres.

a) No instante em que o semáforo de pedestres se torna verde e o cronômetro inicia a contagem regressiva, uma pessoa encontra-se a uma distância d = 20\text{ m} do ponto de início da faixa de pedestres, caminhando a uma velocidade inicial v_0 = 0{,}5\text{ m/s}. Sabendo que ela inicia a travessia da avenida com velocidade v = 1{,}5\text{ m/s}, calcule a sua aceleração constante no seu deslocamento em linha reta até o início da faixa.

b) Considere agora uma pessoa que atravessa a avenida na faixa de pedestres, partindo de um lado da avenida com velocidade inicial v_0 = 0{,}4\text{ m/s} e chegando ao outro lado com velocidade final v = 1{,}2\text{ m/s}. O pedestre realiza todo o percurso com aceleração constante em um intervalo de tempo de t = 15\text{ s}. Construa o gráfico da velocidade do pedestre em função do tempo e, a partir do gráfico, calcule a largura da avenida.

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Resolução comentada

Resposta esperada pela FUVEST

a)
A aceleração constante a do pedestre no seu deslocamento em linha reta até o início da faixa de pedestres é

a = \frac{v^2 - v_0^2}{2d} = \frac{1{,}5^2 - 0{,}5^2}{2 \times 20} = \frac{2}{2 \times 20} = 0{,}05\text{ m/s}^2.

b)
O gráfico da velocidade do pedestre em função do tempo é mostrado na figura abaixo.

[Figura: Gráfico de v (m/s) em função de t(s), com eixo vertical de 0 a 1,6 e eixo horizontal de 0 a 15 s. Uma reta liga o ponto (0; 0,4) ao ponto (15; 1,2). A região trapezoidal sob a reta entre 0 e 15 s está hachurada e indicada pela letra A.]

No gráfico, a largura da avenida d é dada pela área A abaixo da curva que descreve a velocidade do pedestre em função do tempo:

d = \frac{0{,}4 + 1{,}2}{2} \times 15 = 12\text{ m}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O movimento até o início da faixa tem aceleração constante, então vale a equação de Torricelli, que não precisa do tempo:

v^2 = v_0^2 + 2a\,d

Substituindo v = 1{,}5\ \text{m/s}, v_0 = 0{,}5\ \text{m/s} e d = 20\ \text{m}:

1{,}5^2 = 0{,}5^2 + 2a\cdot 20

2{,}25 = 0{,}25 + 40a \Rightarrow a = \frac{2{,}00}{40} = 0{,}05\ \text{m/s}^2

Como a>0, a pessoa acelera, o que é coerente com a velocidade crescendo de 0{,}5 para 1{,}5\ \text{m/s}.

a = 0{,}05\ \text{m/s}^2

b) Com aceleração constante, a velocidade varia linearmente com o tempo. O gráfico v \times t é, portanto, um segmento de reta que vai do ponto (0\ \text{s};\ 0{,}4\ \text{m/s}) ao ponto (15\ \text{s};\ 1{,}2\ \text{m/s}):

eixo horizontal: t (s), de 0 a 15;
eixo vertical: v (m/s), de 0 a 1,2;
reta crescente, começando em 0{,}4 no eixo vertical e terminando em 1{,}2 em t = 15\ \text{s}.

A largura da avenida é o deslocamento, que é numericamente igual à área sob a reta. Essa área é a de um trapézio, de bases 0{,}4 e 1{,}2 e altura 15:

\Delta s = \frac{(0{,}4 + 1{,}2)}{2}\cdot 15 = 0{,}8\cdot 15 = 12\ \text{m}

A mesma conta resulta de v_m = \frac{v_0+v}{2} = 0{,}8\ \text{m/s} vezes 15\ \text{s}.

Largura da avenida: 12\ \text{m}

Assuntos: movimento uniformemente variado, equação de Torricelli, gráfico velocidade x tempo.

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Questão 7 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2019