Questão 5 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015

Question

O primeiro trecho do monotrilho de São Paulo, entre as estações Vila Prudente e Oratório, foi inaugurado em agosto de 2014. Uma das vantagens do trem utilizado em São Paulo é que cada carro é feito de ligas de alumínio, mais leve que o aço, o que, ao lado de um motor mais eficiente, permite ao trem atingir uma velocidade de oitenta quilômetros por hora.

a) A densidade do aço é d_{aço} = 7{,}9\text{ g/cm}^3 e a do alumínio é d_{Al} = 2{,}7\text{ g/cm}^3. Obtenha a razão \left(\frac{\tau_{aço}}{\tau_{Al}}\right) entre os trabalhos realizados pelas forças resultantes que aceleram dois trens de dimensões idênticas, um feito de aço e outro feito de alumínio, com a mesma aceleração constante de módulo a, por uma mesma distância l.

b) Outra vantagem do monotrilho de São Paulo em relação a outros tipos de transporte urbano é o menor nível de ruído que ele produz. Considere que o trem emite ondas esféricas como uma fonte pontual. Se a potência sonora emitida pelo trem é igual a P = 1{,}2\text{ mW}, qual é o nível sonoro S em dB, a uma distância R = 10\text{ m} do trem? O nível sonoro S em dB é dado pela expressão S = 10\text{ dB}\log\frac{I}{I_0}, em que I é a intensidade da onda sonora e I_0 = 10^{-12}\text{ W / m}^2 é a intensidade de referência padrão correspondente ao limiar da audição do ouvido humano.

Answer 1

Questão 5 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015

2º dia · Física

O primeiro trecho do monotrilho de São Paulo, entre as estações Vila Prudente e Oratório, foi inaugurado em agosto de 2014. Uma das vantagens do trem utilizado em São Paulo é que cada carro é feito de ligas de alumínio, mais leve que o aço, o que, ao lado de um motor mais eficiente, permite ao trem atingir uma velocidade de oitenta quilômetros por hora.

a) A densidade do aço é d_{aço} = 7{,}9\text{ g/cm}^3 e a do alumínio é d_{Al} = 2{,}7\text{ g/cm}^3. Obtenha a razão \left(\frac{\tau_{aço}}{\tau_{Al}}\right) entre os trabalhos realizados pelas forças resultantes que aceleram dois trens de dimensões idênticas, um feito de aço e outro feito de alumínio, com a mesma aceleração constante de módulo a, por uma mesma distância l.

b) Outra vantagem do monotrilho de São Paulo em relação a outros tipos de transporte urbano é o menor nível de ruído que ele produz. Considere que o trem emite ondas esféricas como uma fonte pontual. Se a potência sonora emitida pelo trem é igual a P = 1{,}2\text{ mW}, qual é o nível sonoro S em dB, a uma distância R = 10\text{ m} do trem? O nível sonoro S em dB é dado pela expressão S = 10\text{ dB}\log\frac{I}{I_0}, em que I é a intensidade da onda sonora e I_0 = 10^{-12}\text{ W / m}^2 é a intensidade de referência padrão correspondente ao limiar da audição do ouvido humano.

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Resolução comentada

a) O trabalho da força resultante é \tau = F_R\, l = m\,a\,l. Os dois trens têm dimensões idênticas, ou seja, o mesmo volume V. A mesma aceleração a e a mesma distância l valem para os dois. Então a massa é m = d\,V, e o trabalho fica proporcional à densidade.

\frac{\tau_{aço}}{\tau_{Al}} = \frac{d_{aço}\,V\,a\,l}{d_{Al}\,V\,a\,l} = \frac{d_{aço}}{d_{Al}} = \frac{7{,}9}{2{,}7} \approx 2{,}9

O trem de aço exige quase 3 vezes mais trabalho que o de alumínio. Resposta: \tau_{aço}/\tau_{Al} \approx 2{,}9.

b) Para uma fonte pontual que emite ondas esféricas, a potência se distribui sobre uma esfera de raio R. A intensidade é a potência por unidade de área:

I = \frac{P}{4\pi R^2} = \frac{1{,}2\times10^{-3}}{4\pi\,(10)^2} \approx \frac{1{,}2\times10^{-3}}{1{,}2\times10^{3}} \approx 1\times10^{-6}\ \text{W/m}^2

Usei \pi \approx 3 no denominador. Com \pi exato, I \approx 9{,}5\times10^{-7}\ \text{W/m}^2, e o resultado final não muda de forma apreciável.

Agora aplicamos a expressão do nível sonoro:

S = 10\,\log\frac{10^{-6}}{10^{-12}} = 10\,\log 10^{6} = 60\ \text{dB}

Resposta: S \approx 60\ \text{dB}.

Assuntos: trabalho da força resultante, intensidade e nível sonoro.

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