Questão 23 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2011

1º dia · Matemática

Um engenheiro precisa interligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conectar as faixas centrais da estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de reta de comprimento x e dois arcos de circunferência de raio r e ângulo interno \alpha.

Esquema geométrico mostrando dois trechos horizontais paralelos de uma estrada, desalinhados horizontal e verticalmente. A ligação entre eles é composta por um arco de circunferência de raio r e ângulo central alfa, seguido por um segmento de reta inclinado de comprimento x, e por outro arco de circunferência simétrico de raio r e ângulo central alfa. A distância vertical total entre os eixos das estradas é d, e a distância horizontal entre as extremidades dos trechos é y.

a) Se o engenheiro adotar \alpha = 45^\circ, o segmento central medirá x = d\sqrt{2} - 2r(\sqrt{2} - 1). Nesse caso, supondo que d = 72\ \text{m}, e r = 36\ \text{m}, determine a distância y entre as extremidades dos trechos a serem interligados.

b) Supondo, agora, que \alpha = 60^\circ, r = 36\ \text{m} e d = 90\ \text{m}, determine o valor de x.

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