PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 da UFPR 2012

1ª fase · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura ao lado. Que porção x da altura do cano permanecerá acima da superfície?

Cano de seção circular de diâmetro 6 cm encaixado em um vão triangular com ângulo de 60 graus no vértice inferior. A profundidade do vão até a superfície plana horizontal é de 8 cm, e a porção da altura do cano que sobressai acima do nível da superfície é indicada por x.

  1. A
    1/2\text{ cm.}
  2. B
    1\text{ cm.}
  3. C
    \sqrt{3} / 2\text{ cm.}
  4. D
    \pi / 2\text{ cm.}
  5. E
    2\text{ cm.}
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Resolução comentada

O cano tem seção circular de diâmetro 6 cm, então o raio é r = 3\ \text{cm}. Ele fica tangente aos dois lados do vão, que formam 60° no vértice inferior.

O centro do círculo está sobre a bissetriz do ângulo, que é vertical e divide os 60° em dois de 30°.

  1. A distância do centro a cada lado é o raio, 3 cm, pois o lado é tangente à circunferência.
  2. Seja d a distância do vértice ao centro. No triângulo retângulo formado pelo vértice, o centro e o ponto de tangência, o ângulo no vértice é 30° e o cateto oposto a ele vale r:
\sen 30^\circ = \frac{r}{d} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{d} \Rightarrow d = 6\ \text{cm}
  1. O centro está 6 cm acima do vértice. O topo do cano está 6 + 3 = 9\ \text{cm} acima do vértice.
  2. A superfície está a 8 cm do vértice (profundidade do vão). Logo:
x = 9 - 8 = 1\ \text{cm}

O topo do cano passa 1 cm acima da superfície.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem base na geometria; não sai de nenhuma relação correta entre raio, ângulo e profundidade.
  • CMistura um valor de seno/cosseno de 60° ou 30° com a medida, sem aplicar d = r/\sen 30^\circ.
  • DInclui \pi, que não aparece, pois não há comprimento de arco no problema.
  • EUsa d = 3 ou confunde o ângulo, chegando a uma altura errada do centro.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: UFPR 2012 · 1ª fase. Prova oficial ↗